例说如何探究解题方向

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1、例说如何探究解题方向江苏省扬中高级中学杨恒运刘新春2122002001年全国高考数学试题评价报告指出：“学习数学的过程与数学解题紧密相关，数学能力的提高在于解题的质量而非解题的数量，因之要重在研究解题的方向和策略，要善于从解题的条件和求解过程中提取相关的知识，推动题目信息的延仲，归结到某个确定的数学关系，从而形成一个解题的行动序列，这就是解题方向，题H信息与不同的数学知识的结合，可能会形成多个解题方向。”在长期的数学教学中，我们发现，学主最大的困惑与苦恼就是拿到题目不知道如何探究解题方向（思路），而这恰

2、恰是数学能力提高的重耍标志。我们述发现，往往有些学习成绩并不冒尖的学牛常常会给出一些出人意料的解题思路，H.往往能出奇制胜。我们甚至发现有些学生往往在解题中钻牛如尖，固执地偏好川某种方法解决各类问题，这是为什么？倒底应该如何探究解题方向？多元智能理论告诉我们，每个人天牛都有八种智能，每一种智能都可以改变、可以训练，并且具有口己的智能强项与弱项，有的人数理逻辑智能强，往往习惯于运用数学推理，数学化解决问题，或善于寻找规律并用于解决问题。有的视觉空间智能强，往往善于将文字、符号、数式转化成心理图象运用儿何方

3、法解决数学问题，而学习成绩并不冒尖的学牛他在某一方面的解能并不一定弱于成绩好的学牛。因此往往能另辟溪径发现解题思路。“学习风格”理论的基本观点也表明：每个人在其一牛中都会形成并使用多种学习风格，通常人们都会根据不同的情境与不同的学习要求，而灵活地择不同的风格，但多数都编好一种或两种学习风格。在这些学习风格指导下进行解题往往会选择不同解题方向。如感官■…思考型的学生喜欢解决动手操作和有明确答案的封闭性问题。直觉■…思考型学生喜欢运川推理方法和逻辑关系解决问题。直觉■…感受型学牛则渴望探索观念，提出新的问题

4、解决方法，喜欢解决开放型的问题。另外，解决数学问题必须以扎实的基础知识和棊本技能为载体，而不同的学生对各部分知识技能的掌握是有差衣的，口J能对某些章节的知识掌握得扎实些，而对另外一些章节的知识掌握得差些，学生往往川自己熟悉的知识解决问题较顺手，对于同一个问题的信息，学牛往往与口己所熟悉的知识相结合，从而产生不同的解题方向。因此在解题教学中，教师要充分调动多种学习风格，博采众长，多方探求解题思路，不断掌握探方法。下而说明之。问题：已知椭圆的长轴、短轴及焦离Z和为8,求半长轴长的最小值。教者首先请学牛分析题

5、tl条件，考虑能获取什么样的信息，这些信息与结论有何联系，借助已学知识能否构建已知信息与结论的桥梁？能否找到解题思路，然后由学牛思考、讨论、交流，互相借鉴：S,：v(/?+c)2<2(/?2+c2)J97?+c_=cr.・.tz>^^=4（V2-l）1+V2T:很好！你是怎么想到此种解法的？S

6、：根据已学求最值的方法，要求。的最小值，就要构造一个关于。的不等式，解出d的范围，从而求出故小值，rfl条件中的b+C及戸+c2=/联想2>21到基本不等式a+>（仝竺）2从而求出。的最小值。22S。:我与S』勺

7、解题思路相似，但我运用了兰卫>妬得到如下解法：-2va2=b2+c2得a=^lb2+c2由J/异+c*+b+c=4得a/2^+24bc<4z.Z?c<24-16V2又a2=b2+c2=（4-a）2-2bc:.a=16~2Z?f>2--

8、（24-16V2）=4^2-4当且仅当b=c时a有最小值4迈一4T：两位同学的解题发法都很好，运用不同的不等式，构建含。的不等式求出最小值。还有其他解法吗？53：受前面两位同学的启发，我构造了一元二次方程根的判别式也得到了相同的结果，其方法如下：b+c=4-aZ（,b+c

9、=4-a山｛得｛/?2+c2=a2be=S-4ab、c是方程兀2_（a_4）兀+8—4d=0的两根,则A=(a-4)2-4(8-4a)>0aA0•・•a>4V2-4当q=4』2_4时b=c=4-2迈即当b=c=4—2a/2时,a-=4近一4。S4:我用换元法找到了关于d的不等式,4ci4b+c=4-a得h=+tc=22.・.tz2=(2--+/)2+(2---r)2整理得22er+8。一16=“•/4r>0/.tz2+8tz-16>0且gaO从而a>4V2一4Cl的最小值为4—4。T：以上四位同学用所学

10、知识为桥梁，构建含有a的不等式，最终求出“的最小值，这些方法都很好，还能发现其他方法吗？55：求最小值往往与函数紧密联系，我想把a表示成b或c的函数，由b2^c2=a2.a+b+c=4消去得。=乞出竺，但这个函数2(4—b)的最小值我不会求！T:S5的方法尽管未求出结果H运算较繁，但利川函数求最值是常川的基本方法，请同学们思考一下，如何求上式的最小值？S6:我想到换元法:设4一则0