2017-2018学年高二（下）期中数学试卷（文科）带答案详解

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2017-2018学年高二（下）期中数学试卷（文科）一、填空题（每题5分）：1.（5分）设M二{1,2},N={a,b},a,bUR,若M二N,则2a+b二・2.（5分）命题："任意xe{1,-1,0},2x+l>0〃的否定是・3.（5分）已知A,B为不相等的非空集合,则“xWAUB"是"xGAQB〃的条件（填〃充分不必要〃、〃必要不充分〃、“充要〃或"既不充分也不必要〃）4.（5分）设U=R,A={x|x0）的一条切线，则实数b的值是.7.（5分）已知匚二（|z|-1）+5i,求复数z.&（5分）已知函数y二f（x）的图象在M（1,f（1））处的切线方程是尸£x+2,2f（1）+f（1）=・9.（5分）若Z!=a+2i,z?二3-4i,且△为虚数，贝Ua的范围是・z210.（5分）已知复数z二x+yi,x,yeR,且|z-3|=1,则x2+y2+4x+l的最大值为・口・（5分）已知函数f（X）=mx2+lnx-2x在定义域内是增函数，则实数m范围为・12.（5分）凸函数的性质定理为：如果函数f（x）在区间D上是凸函数，则对十l、-1亠仏“士..f（Xi）+f（Xn）+'"+f（xn）一zXi+x9+"'Xn于区I可D内的任忌Xi，X2,…，Xn，有Wf（——）,nn已知函数y=sinx在区间（0,n）上是凸函数,贝!j在ZABC中,sinA+sinB+sinC的 最大值为13・（5分）若不等式2xlnx$-x2+ax-3对xG（0,+8）恒成立，则实数a的取值范围是・14.（5分）已知函数f（x）=x（Inx-ax）有两个极值点，则实数a的取值范围二、(满分90分)15.(14分)已知A二仪||x-a|<4},B={x||x-2|>3}.(I)若a=l,求AQB；(II)若AUB=R,求实数a的取值范围.16・（14分）己知z是复数，z+2i、丄均为实数（i为虚数单位），H复数（z+a・i）2-i丄在复平面内对应的点在第一象限，则实数a的取值范围为・17.（15分）已知c>0且c#l,设命题p："函数y二（2c-1）£在R上为减函数〃，命题不等式x+（x・2c）《1的解集为0",若为真命题，求实数c的范围.X18.(15分)设a>0,函数f(x)二一x+a（1）若a二求函数f（x）的单调区间；9x2€［寺,（2）当x二丄时，函数f（X）取得极值，证明：对于任意的當21f（Xi）-f（x2）|・319.（16分）如图，现要在边长为100m的正方形ABCD内建一个交通〃环岛〃.以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm（x不小于9）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为lx2m的圆形草地.为了保证道路畅通，岛5口宽不小于60m,绕岛行驶的路宽均不小于10m.（1）求x的取值范围；（运算中迈取1.4）（2）若中间草地的造价为a元/n?,四个花坛的造价为A卫元/mS其余区域的33造价为誓元/n?,当x取何值时，可使〃环岛〃的整体造价最低？ 20・(16分)已知函数f(x)二lnx-2X(1)当a>0时，求f(X)在［e,+°°)上的最小值；(2)若f(x)在［1,e］上的最小值为求实数a的值；2(3)若f(x)0〃的否定是存在xWh,0},使得2X+1W0・【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出其否定命题可得答案.【解答】解：命题"任意xG{1,-1,0},2x+l>0"的否定命题是：存在xW{1,-1,0},使得2X+1W0,故答案为：存在xU{1,-1,0/,使得2x+lW0・【点评】本题考查了命题的否定，基本知识的考查.3.（5分）已知A,B为不相等的非空集合，贝IJ“xGAUB〃是"xGAQB〃的必要不充分条件（填"充分不必要〃、"必要不充分〃、"充要〃或〃既不充分也不必要〃）【分析】根据集合的性质以及充分必要条件的定义分别判断充分性和必要性即可.【解答】解：A,B为不相等的非空集合，则由"xEAUB〃推不出"xEAAB〃,不是充分条件,由“xGAQB〃推出"xWAUB",是必要条件, 故答案为：必要不充分.【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合运算的性质，是一道慕础题.1.（5分）设U二R,A={xx0）的一条切线，则实数b的值是In33-1.【分析】设切点为（m,Inm）,求出导数，求得切线的斜率，由切线的方程可得m=3,切点（3,In3）,代入切线方程可得b・【解答】解：设切点为（m,Inm）,y=lnx的导数为y-—,x可得切线的斜率为k二丄，ITI由切线方程y二丄x+b,可得丄二丄，3in3解得m=3,切点为（3,In3）,可得b二In3-1.故答案为：In3-1.【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，注意设出切点，运用切线方程，考查运算能力，属于基础题.7.（5分）已知匚二（|z|-1）+5i,求复数z.【分析】设复数z二x+yi（x、yeR）,代入等式，利用复数相等，求出x、y的值即可.【解答】解：设z二x+yi（x、yGR）,•/z=（z-1）+5i,-•-x-yi=(^x2+y2・i)+5i；解得产12；1尸—5Az=12-5i.【点评】本题考查了复数的概念与应用问题，解题时应利用相等的定义，求岀答案来，是容易题.8.(5分)已知函数y=f(X)的图象在M(1,f(1))处的切线方程是尸丄x+2, 2f(1)+f(1)二3・【分析】先将X"代入切线方程可求出f(1),再由切点处的导数为切线斜率可求出f(1)的值，最后相加即可.【解答】解：由已知切点在切线上，所以f(1)二丄+2/,切点处的导数为切线22斜率，所以f‘⑴丄乙所以f(1)+f(1)=3故答案为：3【点评】本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率.9-(5分)若z®+2i，24i,且彳为虚数,则a的范围是上乡【分析】利用复数的运算法则、共轨复数的定义、虚数的定义即可得出・【解答】解:S_&+2i_G+2i)(3+4i)_30-8+(6+4Ri为虚数z23-4i(3-4i)(3+4i)25亞'25解得・2故答案为：仝・2【点评】木题考查了复数的运算法则、共辘复数的定义、虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.10.(5分)已知复数z二x+yi,x,yeR,_&|z-3|=l,则x2+y2+4x+l的最大值为33・【分析】复数z=x+yi,x,yGR,设P(x,y),由表示以(3,0)为圆心，1为半径的圆.则xJy2+4x+l二(x+2)2+y2-3.求出点Q(・2,0)与点Q的距离|PQ|,即可得出.【解答】解：复数z二x+yi,x,yGR,设P(x,y),由|z-3|=1,表示复平面上以(3,0)为圆心，1为半径的圆. 则x2+y2+4x+l=(x+2)2+y2-3・点Q(・2,0)与点Q的距离IPQI=7(3+2)2+O=5-/.(x2+y2+4x+l)max二(5+1)2-3=33・故答案为：33.【点评】本题考查了复数形式的圆的方程、两点之间的距离公式、点与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于屮档题.□・(5分)已知函数f(x)=mx2+lnx-2x在定义域内是增函数，则实数m范围为一ID>寺—•【分析】求岀fz(x)=2mx+l・2,因为函数在定义域内是增函数，即要说明fX(X)大于等于0,分离参数求最值，即可得到m的范围.【解答】解：求导函数，可得fz(x)二2mx+丄-2,x>0,X函数f(x)=mx2+lnx-2x在定义域内是增函数，所以f'(x)20成立，所以2mx+丄-2$0,x>0时恒成立，X所以(—-I)?-!.，x所以-2mW-1所以m2丄时，函数f(x)在定义域内是增函数.2故答案为m》寺【点评】考查学牛利用导数研究函数单调性的能力，会找函数单调时自变量的取值范围，属于基础题12・(5分)凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对.小砧/-心若f(X])+f(X2)+…+f(x)厂+七+…X于区间D内的任意X1，X2,…，Xn，有Wf(——),nn已知函数尸sinx在区间(0,n)上是凸函数，则在AABC中，sinA+sinB+sinC 的最大值为迥—2—【分析】已知f(x)二sinx在区间(0,H)上是凸函数，利用凸函数的性质可得:sinA+sinB+sinCwsinA+B+C,变形得sinA+sinB+sinC^3sin—问题得到解决.333【解答】解:Vf(x)二sinx在区间(0,r)上是凸函数，JzLa、b、ce(0,Ti),・f(A)+f(B)+f(C)Wf(A+B+C)=f(2L)…3、33即sinA+sinB+sinCW3sin丄匚二色3,32所以sinA+sinB+sinC的最大值为日'.2【点评】应用凸函数的性质解决具体问题.12.(5分)若不等式2xlnx2-x2+ax-3对xG(0,+8)恒成立，则实数a的取值范围是(・°°,4].【分析】由已知可得aWx+2lnx+』,x>0,令y=x+2lnx+—,利用导数求岀x二1时,XXy取最小值4,由此可得实数a的取值范围.【解答】解：V2xlnx^-x2+ax-3对xV(0,+8)恒成立,Aa0,x令y=x+2lnx+—,则/=1+_2・丄二x2+2x-3,xx2x2由y'二0,得Xi=-3,x2=l,当xW(0,1)时，y'VO,函数y二x+2lnx+』为减函数；X当xW(1,+8)时，/>0,函数y二x+2lnx+3为增函数./.X=1时，ymin二1+0+3二4./0),f'(x)=lnx+l-2ax.令g(x)=lnx+l-2ax,由于函数f(x)=x(Inx-ax)有两个极值点Og(x)=0在区间(0,+°°)两个实数根.gz(x)二丄-2a=1~2ax・当aWO时，直接验证；当a>0时，xx导数研究函数g(X)的单调性可得：当X二丄时，函数g(X)取得极人值，2a故要使g(X)有两个不同解，只需耍g(—)=ln—>0，解得即可.52a72a【解答】解：f(x)=xlnx-ax2(x>0),f(x)二Inx+1-2ax.上有利用令g(x)=lnx+l-2ax,•・•函数f(x)=x(Inx-ax)有两个极值点,则g(x)=0在区间(0,上有两个实数根.g(x)=l_2a=lz2^,XX当aWO吋，g(x)>0,则函数g(x)在区间(0,+8)单调递增,因此g(x)二0在区间(0,+8)上不可能有两个实数根，应舍去.当a>OI]寸，令0(x)=0,解得x二丄.2a令g(X)>0,解得o丄，此时函数g(x)单调递减.2a.••当x二丄时，函数g(x)取得极大值.2a当x趋近于0与x趋近于+8时，g(x)T-°°,要使g(x)=0在区间(0,+°°)上有两个实数根，则g(£-)二1门孑>0，解得 ・・・实数a的取值范围是（0,丄）.2故答案为：（0,寻）.【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题.二、（满分90分）15.（14分）已知A={x||x-a|<4},B={x||x-2|>3}.（I）若a=l,求AQB；（II）若AUB=R,求实数a的取值范围.【分析】（I）把a=l代入绝对值不等式|x-a|<4求出解集，再求解|x-2|>3的解集，再求出APB；（II）先求解V4得岀集合A,再由AUB=R画出数轴，由图列出关于a的不等式，注意等号是否取到，求出a范围.【解答】解:（I）当a=l时,则由|x-1|<4,即-43,即x-2>3或x-2<-3,用牟得x<-1或x>5,AA={x|-35}.・・・AQB二{x|-35},且AUB=R,用数轴表示如下:(,&A水■/、q-4T5合+4(-1'宫+4>5解得l0,解得：20・・・实数a的取值范围是{a|20且cHl,设命题p："函数y二(2c-1)£在R上为减函数〃，命题不等式x+(x-2c)匕1的解集为0〃，若〃p/q〃为真命题，求实数c的范围.【分析】分别求出关于p,q的为真时的c的范围，取交集即可.【解答】解：已知c>0且cHl,•・•命题p：〃函数y二(2c-1)•(?在R上为减函数〃，・・•命题q：“不等式x+(x-2c)201的解集为0〃即x2+(1-4c)x+4c2-1>0恒成立，・•・△二(1-4c)2-4(4c2-1)<0, 解得:c>5,8若〃p/q〃为真命题，^7【点评】本题考查了复合命题的判断，考查函数的单调性以及函数恒成立问题,是一道屮档题.18・(15分)设a>0,函数f(x)=—|—x+a(1)若a二求函数f(x)的单调区间；9(2)当x二丄时，函数f(x)取得极值，证明：对于任意的納21f(Xi)-f(X2)丨W土畝・3【分析】(1)求出函数的导数，令导数大于o,得增区间，令导数小于o,得减区间;(2)由条件可得，(±)=0,求得a,进而得到单调区间和极值，也为最值,即有任意两个函数值的绝对值不大于最大值与最小值之差.只x/2?xeX[(x-l)2-y]【解答】(1)解：当f(x)/(打+才纠二亍旦9宀)2(亠|)2令f‘(x)>0,即(x-l)2-A>0,解得xV丄或x>§・933令f(x)<0,解得丄60100V2-2x-2XyX2>2X10(xi>9解得，x<20，t-200时，求f（x）在［e,+°°）上的最小值; (2)若f(x)在［1,e］上的最小值为丄，求实数a的值；2(3)若f(x)xlnx-x3在(1,+°°)上恒成立.令g(x)=xlnx-x3,根据函数的单调性求出a的范围即可.【解答】解：(1)・・・a>0,x2e,/.f(x)二丄+-y>0,f(x)在［e,+°°)递增，XX故f(X)min=f(e)=1—；e(2)由题意可知，f‘(x)二丄++弓二卫寻.xXX①若-1,则x+a20,即f'(x)20在［1,e］上恒成立，此时f(x)在［1,e］上为增函数，Af(x)min=f(1)=-a=—,/.a=-—(舍去).22②若aW-e,则x+aWO,即f'(x)W0在［1,e］上恒成立，此时f(x)在［1,e］上为减函数，Af(x)min=f(e)=1-—,Aa=-—(舍去).e22③若-eVaV-1,令f'(X)=0得x=-a,当l0,・・・f(x)在(-a,e)上为增函数，/.f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=—,2a=-Ve-综上所述，a=-Ve;(3)Vf(x)xlnx-x3在(1,+°°)上恒成立.令g(x)=xlnx-x3,h(x)=gz(x)=l+lnx-3x2,2h‘(X)二丄-6x二Ifx. Vxe(1,4-00)时，hz(x)<0,Ah(x)在(1,+°°)上是减函数./.h(x)