清华大学微积分课件(全)x66

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1、作业P181习题51(1)(4)(7).3.6.预习P182—1867/16/20211第二十讲四、斯托克斯公式二、高斯公式一、向量场的微分运算三、向量场的通量与散度7/16/20212一、向量场的微分运算向量场1.数量场的梯度算子7/16/20213数量场7/16/20214向量场7/16/20215空间闭曲面上的第二型曲面积分与闭曲面所围空间区域上的三重积分之间的联系高斯公式揭示了：7/16/20218先证明第三项假设Ω如图所示7/16/20219另一方面,曲面积分同理可证7/16/202110[解法1]7

2、/16/202111[解法2]利用Gauss公式7/16/202112应用高斯公式得到7/16/202113[解]设该球面所围空间区域为,由高斯公式作平移变换即7/16/2021147/16/202115雅可比行列式由换元公式得利用对称性得到7/16/2021167/16/202117三、向量场的通量与散度通量7/16/2021187/16/202119应用高斯公式散度的计算：7/16/202120散度的物理意义7/16/202121高斯公式的直观解释：经过闭曲面S向外侧的通量,等于S所围的区域内的总发散量.

3、7/16/202122四、斯托克斯公式(Stokes)定理2:7/16/2021237/16/202124空间曲面上的第二型曲面积分与曲面边界上的第二型曲线积分之间的联系斯托克斯公式揭示了：7/16/202125[证]假设：7/16/2021267/16/202127由格林公式7/16/202128[解](1)应用斯托克斯公式7/16/2021297/16/202130(2)化为定积分计算7/16/202131(3)化为平面曲线的二型曲线积分7/16/202132[解]7/16/2021337/16/202134

4、7/16/2021357/16/202136