专题2.5以新数列为背景的解答题-2017年高考数学备考优生百日闯关系列(江苏专版)

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1、【名0帀综述】中学研究的特殊数列只有等差数列与等比数列,一个是线性数列,一个是类指数数列,但数列性质却远远不止这些,因此新数列的考查方向是多样的、不定的,不仅可考查函数性质,而且常对整数的性质进行考查•明确考查方向是解决以新数列为背景的解答题的前提,恰当运用对应性质是解决问题思想方法.类型一排序数列分类讨论问题AA1典例1己知数列{%}的前〃项和为A”,对任意HE7V*满足亠-一且4=1,数列{仇}满足〃+1n2仇+2-2仇+1+b“=o(ne=5,其前9项和为63.(1)求数列{匕}和{仇}的通项公式;(2)令“

2、=如+生,数列匕}的前〃项和为7;,若对任意正整数斤,都^Tn>2n+a,求实数Q的取值an仇范围;(3)将数列{色},{仇}的项按照“当几为奇数时,色放在前而;当刃为偶数时,亿放在前而”的要求进行"交叉排列”,得到一个新的数列:Q],%$,勺,,2,勺,,2厶,…,求这个新数列的前斤项和S”•【举一反三】已知正项数列{色}为等比数列,等差数列{仇}的前斤项和为且满足:&3=20&S9一=41,d]=厶,。3=b、・(1)求数列{色},{bn}的通项公式;(2)设町=4勺+°2伏+・・・+%b“(z2wnJ,求人;

3、[(X77为奇数(3)设C;严]为偶数,问是否存在正整数"八使得5匕”+1乙+2+8=3(5+。+]+5+2)・类型二不定子数列性质探究问题典例2设{%}是公差为d的等差数列,{仇}是公比为q(qHl)的等比数列•记cn=b”-a「(1)求证:数列{q+i_c“+d}为等比数列;(2)已知数列{q}的前4项分别为9,17,30,53.①求数列{。〃}和{仇}的通项公式;②是否存在元素均为正整数的集合人二N,使得数列5,等差数列?证明你的结论.【举一反三】己知数列{色}是公差为正数的等差数列,•其前兄项•和为S”,

4、且^3=15,S4=16.(1)求数列{色}的通项公式;(2)数列{仇}满足b严兔,bn+}-bn=—^—.a如①求数列{仇}的通项公式;②是否存在正整数m,n(m/n),使得b2,hm,hn成等差数列?若存在,求岀加/的值;若不存在,请说明理由.类型三新数列中定义理解与应用问题典例3记t/={1,2,-,100}.对数列{atl](neM)和(;的子集T,若7=0,定义ST=0;若T={加2,…,h],定义&=%+%+•••+%・例如:"{1,3,66}时,ST=a}+偽+。66•现设{alt](neN^是公比为

5、3的等比数列,且当"{2,4}时,S产30.(1)求数列{%}的通项公式;(2)对任意正整数WS100),若Tu{l,2,・・・,k},求证:ST2Sd.【举一反三】设数列A:q,偽,…®v(NX).如果对小于n(2州,则G(A)工0:

6、(3)证明:若数列A满足匕也「I勺(n=2,3,...,N)侧G(A)的元素个数不小于d”【精选名校模拟】1121.在数列{匕”}中,已知绚=一,an+i=-an--^7,neN*,设S”为{色}的前兀项和.33(1)求证:数列{3"陽}是等差数列;(2)求S“;(3)是否存在正整数p,q,厂(pvqv厂),使S/,,Sq,S,.成等差数列?若存在,求出p,q,厂的值;若不存在,说明理rti.1.若无穷数列{%}满足:只要jSqwN"),必有ap+[=a(^,则称{色}具有性质P・(1)若{a“}具有性质P,且q=

7、1,色=2,4=3,他=2,a6+a7+a8=21,求%(2)若无穷数列{仇}是等差数列,无穷数列{c“}是公比为正数的等比数列,ba",Q=5=hn+c“判断{匕}是否具有性质P,并说明理由;(3)设{仇}是无穷数列,已知a沖=b“+sin©5wN.求证:“对任意即他}都具有性质P”的充要条件为“{仇}是常数列”.2.已知数列{色}满足a}=1,a2=2,a2ti+]=aln_x+2,a2lJ+2=3tz2zj,(MGNj.数列{。”}前"项和为S“.(I)求数列{色}的通项公式;(II)若amam+x=am+

8、2,•求正整数加的值;(III)是否存在正整数加,使得A恰好为数列{色}屮的一项?若存在,求出所有满足条件的加值,若不存在,说明理由.3.已知数列{0,数列仇}为等比数列,若7;=(2n-3)•2"+3(1)求数列⑷、{/?„}的通项公式;(2)是否存在pgwN

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1、【名0帀综述】中学研究的特殊数列只有等差数列与等比数列,一个是线性数列,一个是类指数数列,但数列性质却远远不止这些,因此新数列的考查方向是多样的、不定的,不仅可考查函数性质,而且常对整数的性质进行考查•明确考查方向是解决以新数列为背景的解答题的前提,恰当运用对应性质是解决问题思想方法.类型一排序数列分类讨论问题AA1典例1己知数列{%}的前〃项和为A”,对任意HE7V*满足亠-一且4=1,数列{仇}满足〃+1n2仇+2-2仇+1+b“=o(ne=5,其前9项和为63.(1)求数列{匕}和{仇}的通项公式;(2)令“

2、=如+生,数列匕}的前〃项和为7;,若对任意正整数斤,都^Tn>2n+a,求实数Q的取值an仇范围;(3)将数列{色},{仇}的项按照“当几为奇数时,色放在前而;当刃为偶数时,亿放在前而”的要求进行"交叉排列”,得到一个新的数列:Q],%$,勺,,2,勺,,2厶,…,求这个新数列的前斤项和S”•【举一反三】已知正项数列{色}为等比数列,等差数列{仇}的前斤项和为且满足:&3=20&S9一=41,d]=厶,。3=b、・(1)求数列{色},{bn}的通项公式;(2)设町=4勺+°2伏+・・・+%b“(z2wnJ,求人;

3、[(X77为奇数(3)设C;严]为偶数,问是否存在正整数"八使得5匕”+1乙+2+8=3(5+。+]+5+2)・类型二不定子数列性质探究问题典例2设{%}是公差为d的等差数列,{仇}是公比为q(qHl)的等比数列•记cn=b”-a「(1)求证:数列{q+i_c“+d}为等比数列;(2)已知数列{q}的前4项分别为9,17,30,53.①求数列{。〃}和{仇}的通项公式;②是否存在元素均为正整数的集合人二N,使得数列5,等差数列?证明你的结论.【举一反三】己知数列{色}是公差为正数的等差数列,•其前兄项•和为S”,

4、且^3=15,S4=16.(1)求数列{色}的通项公式;(2)数列{仇}满足b严兔,bn+}-bn=—^—.a如①求数列{仇}的通项公式;②是否存在正整数m,n(m/n),使得b2,hm,hn成等差数列?若存在,求岀加/的值;若不存在,请说明理由.类型三新数列中定义理解与应用问题典例3记t/={1,2,-,100}.对数列{atl](neM)和(;的子集T,若7=0,定义ST=0;若T={加2,…,h],定义&=%+%+•••+%・例如:"{1,3,66}时,ST=a}+偽+。66•现设{alt](neN^是公比为

5、3的等比数列,且当"{2,4}时,S产30.(1)求数列{%}的通项公式;(2)对任意正整数WS100),若Tu{l,2,・・・,k},求证:ST2Sd.【举一反三】设数列A:q,偽,…®v(NX).如果对小于n(2州,则G(A)工0:

6、(3)证明:若数列A满足匕也「I勺(n=2,3,...,N)侧G(A)的元素个数不小于d”【精选名校模拟】1121.在数列{匕”}中,已知绚=一,an+i=-an--^7,neN*,设S”为{色}的前兀项和.33(1)求证:数列{3"陽}是等差数列;(2)求S“;(3)是否存在正整数p,q,厂(pvqv厂),使S/,,Sq,S,.成等差数列?若存在,求出p,q,厂的值;若不存在,说明理rti.1.若无穷数列{%}满足:只要jSqwN"),必有ap+[=a(^,则称{色}具有性质P・(1)若{a“}具有性质P,且q=

7、1,色=2,4=3,他=2,a6+a7+a8=21,求%(2)若无穷数列{仇}是等差数列,无穷数列{c“}是公比为正数的等比数列,ba",Q=5=hn+c“判断{匕}是否具有性质P,并说明理由;(3)设{仇}是无穷数列,已知a沖=b“+sin©5wN.求证:“对任意即他}都具有性质P”的充要条件为“{仇}是常数列”.2.已知数列{色}满足a}=1,a2=2,a2ti+]=aln_x+2,a2lJ+2=3tz2zj,(MGNj.数列{。”}前"项和为S“.(I)求数列{色}的通项公式;(II)若amam+x=am+

8、2,•求正整数加的值;(III)是否存在正整数加,使得A恰好为数列{色}屮的一项?若存在,求出所有满足条件的加值,若不存在,说明理由.3.已知数列{0,数列仇}为等比数列,若7;=(2n-3)•2"+3(1)求数列⑷、{/?„}的通项公式;(2)是否存在pgwN

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