【备战高考_数学】高考数学备考优生闯关训练（江苏专版）：以直线与圆位置关系为背景的填空

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1、专题一压轴填空题第五关以直线与圆位置关系为背景的填空题【名师综述】直线与圆是高中数学的C级知识点，是高中数学中数形结合思想的典型体现.近年来，高考对直线与圆的命题，既充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化，又保持与函数或不等式或轨迹相结合的命题思路，呈现出〃综合应用，融会贯通〃的特色,充分彰显直线与圆的交汇价值.类型一以动点轨迹为圆考查直线与圆、圆与圆位置关系典例1在平面直角坐标系xOy中，已知圆0:x2+y2二1,01:(x・4尸+护二4,动点P在直线x+书y・b二0上，过P分别作圆0,01的切线，切点分别为A,B,若满足PB=2PA

2、的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是•【解析】设P点坐标为(厂y),TPB=2PA,/.PB2=4PAS即(x-4)2+y2-4=4(x2+y-1),整理得曲•'4IR__.+3y：+8x-16=0.(方法1)该方程表示一个圆〉圆心，-亍0“工=亍因为P点有且只有两个〉所以直线和4bf、圆相交〉故解得b€(-箔4(方法2)因为P在崖戋x+V^y-b=0上，所店倚=-*+13,代入Z+3y；+氐一16=0,得4Z+(8-2b)x+b:-16=0.因为P点、有且只有两个，所叹方程有两个不相等―〜—“了20、的根，即△>0,整理得3bx+8

3、b-80<0,所以」€.-£，4t.【名师指点】本题考查了直线与圆的位置关系，以及一元二次不等式的解法，突出了方程思想和解析法,其中方法1是利用方程对应的几何图形解决问题；方法2用代数方法算方程根的个数.本题属于难题.【举一反三】已知点A(0,1),B(l,0),C(t,0),点D是直线AC上的动点，若AD<2BD恒成立，则最小正整数t的值为.【答案】4xr4、2rn卜亍丿+直线x+ty・t=0与圆8二孑§离/【解析】直线AC的方程为[+y二1即x+ty・t二0,设D(x,y);/AD<2BD即AD2<4BD2,{4>2rn+...x2+

4、(y_1)2<4[(X-l)2+y2]8ng表示圆外区域及圆周上的点2孳，化简得t2-4t+l“，41亍-尹t小+菩解得也2+斤或ts2正整数t的值的值为4.类型二以圆中直角三角形建立函数关系式或方程或不等式典例2在平面直角坐标系xOy中,圆Ci:(x-1)2+y2=2,圆C2:(x-m)2+(y+m)2=E若圆C2上存在点P满足:过点P向圆Ci作两条切线PA,PB,切点为A,B,MBP的面积为1,则正数m的取值范围是・【答案】[1,3+2@]【解析】如图，设ZAPCF0、则AP=^^-.SiAE?=

5、AP:sin29=*2tan'6s

6、in20—2cos「8sin0=1,即1一曲81+tan"0—tanQ—1.T02■丿＞•••七见6=1，即6=孑，此时PG=2・则点p在圆Cl7:(x-l)；+y；=4上，又点P在圆3(x-m)；+(y+m)；=m；上，.I圆Cj与圆C；有交点，即

7、2-m

8、WC/C；W2+m,解之得lWmW3+2^3,/.正数m的取值范围时[1,34-2^3].【名师指点】本题考查了圆的切线的性质、三角函数的运用、圆与圆相交的条件.本题属于难题.【举一反三】已知经过点p11的两个圆Ci,C2都与直线11:y=p<#h：y=2x相切，则这两圆的圆心距C1

9、C2等于【答案】【解析】假设圆心所在直线为y=kx则一-l+-k2-kl+2k(3)=l.故假设圆Ci:(a・1尸+a■于Z丿2a2=~，圆C2:(b・1)2+b圆Cl:36a2-100a+65=0,圆C2:36b2-100b10065+65=0./・a+b二=7,axb=TT3636••・C1C2=^/(a-b)2+(a-b)类型三利用数形结合揭示与刻画直线与圆、圆与圆位置关系典例3已知集合M二{(x,y)

10、x-3

11、PAn萌PB,A(・1,0),B(1,0)},则表示MAN的图形面积等于•【解析】设p(厂y),

12、由PA2>PB^Q(x+1)*4-y5=2(x-l):4-2y整理得(x-3)2+/<8,则集合MQN示意團如下虱则Si=Sm+2S訴.又N(3,0)到AB距离，从而△ABN为等边三角形打.S*尸¥(2垃)：=2亦2S5CH?=2X

13、1•工=1工=工；8=8><罟=荻综上知MP1N的團形面积为2苗+#兀.【名师指点】本题考查了直线与圆的综合应用以及数形结合的数学思想.本题属于难题.【举一反三】在平面直角坐标系xOy中，已知点P(・1,0),Q(2,1),直线I:ax+by+c=0,其中实数a,b,c成等差数列，若点P在直线I上的射影为H

14、,则线段QH的取值范围是-【答案】[^2,3^/2]【解析】因为a,b,c成等差数列，有2b二a+c,即a・2b+c二0,对比方程ax+by+c二0可知，动直线恒过定点(1,・2),记为A,点