2018高考数学备考百日闯关江苏专版专题2.5以子数列或生成数列为背景的解答题附解析

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1、2018高考数学备考百日闯关江苏专版专题2.5以子数列或生成数列为背景的解答题附解析专题二压轴解答题第五关以子数列或生成数列为背景的解答题【名师综述】中学研究的特殊数列只有等差数列与等比数列，一个是线性数列，一个是类指数数列，但数列性质却远远不止这些，因此新数列的考查方向是多样的、不定的，不仅可考查函数性质，而且常对整数的性质进行考查.明确考查方向是解决以新数列为背景的解答题的前提，恰当运用对应性质是解决问题思想方法.类型一排序数列分类讨论问题典例1已知数列的前项和为，对任意满足，且，数列满足，其前

2、9项和为63．（1）求数列和的通项公式；（2）令，数列的前项和为，若对任意正整数，都有，求实数的取值范围；（3）将数列的项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：，求这个新数列的前项和．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】于是有，只要求得的最大值即可得的最小值，从而得的范围，研究的单调性可得；（3）根据新数列的构造方法，在求新数列的前项和时，对分类：，和三类，可求解．试题解析：（1）∵，∴数列是首项为1，公差为的等差数列，∴，即，∴，又，∴．．．

3、．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分∵，∴数列是等差数列，设的前项和为，∵且，∴，∴的公差为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由（1）知，∴，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分设，则，∴数列为递增数列，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分∴，∵对任意正整数，都有恒成立，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分（3）数列的前项和，数列的前项和，①当时，；②当时，，特别地，当时，也符合上式；③当时，．综上：．．．．

4、．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分【名师指点】由于新数列依赖于顺序，因此项数与项的对应关系是解决问题的关键，而项数与项对应关系往往需要讨论，因此分类标准的正确选择是考查的难点.【举一反三】已知数列满足，，其中，，为非零常数.（1）若，，求证：为等比数列，并求数列的通项公式；（2）若数列是公差不等于零的等差数列.①求实数，的值；②数列的前项和构成数列，从中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列.试问：是否存在首项为的四项子数列，使得该子数列中的所有项之和恰好为201

5、7？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）①，，.②，，【解析】为2为首项，3为公比的等比数列，，.（2）①设，由得，，对任意恒成立.令，2，3，解得，，，.经检验，满足题意.综上，，，.②由①知.设存在这样满足条件的四元子列，观察到2017为奇数，这四项或者三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数.1°若三个奇数一个偶数，设，，，是满足条件的四项，则，，这与1007为奇数矛盾，不合题意舍去.2°若一个奇数三个偶数，设，，，是满足条件的四项，则，.由504为偶

6、数知，，，中一个偶数两个奇数或者三个偶数.1）若，，中一个偶数两个奇数，不妨设，，，则，这与251为奇数矛盾.2）若，，均为偶数，不妨设，，，则，继续奇偶分析知，，中两奇数一个偶数，不妨设，，，则.因为，均为偶数，所以为奇数，不妨设，当时，，，检验得，，，当时，，，检验得，，，当时，，，检验得，，，即，，，或者，，，或者，，，满足条件，综上所述，，，为全部满足条件的四元子列.类型二不定子数列性质探究问题典例2设数列满足，其中，且，为常数.（1）若是等差数列，且公差，求的值；（2）若，且存在，使得对任

7、意的都成立，求的最小值；（3）若，且数列不是常数列，如果存在正整数，使得对任意的均成立.求所有满足条件的数列中的最小值.【答案】（1）（2）（3）3【解析】.令，则，所以当时，；当时，；当时，．所以的最大值为，所以的最小值为.（3）因为数列不是常数列，所以．①若，则恒成立，从而，，所以，所以，又，所以，可得是常数列．矛盾．所以不合题意.②若，取（*），满足恒成立．由，得．则条件式变为．由，知；由，知；由，知．所以，数列（*）适合题意．所以的最小值为.【名师指点】从原数列抽出子数列，其性质往往发生变化

8、，但子数列在原数列中，因此需要结合原数列的性质（如单调性、奇偶性），进行分析子数列的性质.【举一反三】已知数列的前项和，对任意正整数，总存在正数使得，恒成立：数列的前项和，且对任意正整数，恒成立.（1）求常数的值；（2）证明数列为等差数列；（3）若，记，是否存在正整数，使得对任意正整数，恒成立，若存在，求正整数的最小值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）见解析（3）正整数的最小值为4【解析】∵为正数∴.又∵，，且∴.（2）∵③∴当时，④，∴③-④得：，即⑤，又