资源描述：
《专题49几何概型的方法破析-备战2017年高考高三数学一轮热点难点一网打尽含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第49讲几何概型的方法破析考纲要求：1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.2.了解几何概型的意义（长度型、角度型、面积型、体积型）.基础知识回顾：一、几何概型1.定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.2.特点：（1）无限性：试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个.（2）等可能性：试验结果在每一个区域内均匀分布.二、几何概型的概率公式：HA）=构成事件力的区域长度角度试验全部结果所构成的区域长度角度应用举例：类型一、与长度角度有关的几何概型例1、如图1所示，在直角坐标系内，射线0T落在30
2、°角的终边上，任作一条射线创，则射线创落在AyOT内的概率为yO團1x解析：如題图，因为射线葩在坐标系内是等可能分布的，所以加落在S了内的概率为豈=*・例2、在矩形中ABCD中，AB=2AD,在CD上任取一点P,的最大边是AB的概率是（）•A.B.C./2—1D.5/3—122解析：设AD=a.当AB=AP时，（2a）2=a2+（2a-PC）2nPC=（2-巧）a或PC=（2+弟）a（舍），所以所求概率为1_2（2_侖加=希_],选d.2ci例3、在[-4,3]上随机取一个数加，能使函数/（x）=x2+V2/zir+2在尺上有零点的概率为•解析：若/（x）=x2+/2mx+2H零点
3、，5!lJA=2m2-8>0»解得m>2或加5-2,3由几何概型可得函数y=/W有零点的概率p=-.点评：求与长度（角度）有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度（角度）.然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型”的不同.解题的关键是构建事件的区域（长度、角度）.类型二、与体积有关的几何概型例4、有一个底而圆的半径为1、高为2的圆柱，点0为这个圆柱底而圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P,则点P到点0的距离大于1的概率为.解析：先求点只到点。的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积％怪=兀><1収2=2兀，以0为球心,1为半径且在圆柱内部的半球的体积如号討XX討•则点屈点
4、。的距离小于或等于1的概率为律112图2=了故点尸到点。的距离犬于1的概率为1-3=3.例5、如图2,长方体ABCD-A.BM中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A-A.BD内的概率为•解析：设事件‘戶“动点在三棱锥A-A}BD内”,]丄丄V•棱锥aabda側X*三角形窗•声形咙F（胁=三棱锥a“bd=3==V长方体AC】X^J^ABCD"儿•"16*例6、用橡皮泥做成一个直径为6cm的小球，假设橡皮泥中混入了一个很小的砂粒,求这个砂粒距离球心不小于1CH1的概率.解析：设“砂粒距离球心不小于1cm”为事件儿球心为0,砂粒位置为厕4用4〈cm.严一严（A则事件力发生，即为
5、0^cm.•:R=3,r=l,则1A）=一匕才故砂粒距离球心不小于1cm的概率为类型三、与面积有关的几何概型对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积（总空间）以及事件的体积（事件空间），对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之一.归纳起来常见的命题角度有:（1）与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题.例7、如图3,在圆心角为直角的扇形0AB屮，分别以OA,0B为直径作两个半圆.在扇形0AB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）2A.1—ji图32C.—ji1D.—ji解析：解法一解题关键是求出空白部分的面积，用几何概型求
6、解.设分别以如加为直径的两个半圆交于点G创的中点为⑵如图4,连接如DC,不妨令0A=0B=2,则0D=DA=DC=l.在以创为直径的半圆中，空白部分面积X1X1—仔一*X1X1）=「所以整体图形中空白部分面积£=2・又因为S斛脚今兀—？9X71X22—7T,所以阴影甘盼EJ积为h=兀—2・所以——1—亓解法一*连接/!〃，由S弓形处=S弓形处=S弓形处可求出空口部分面积.设分别以0A,0B为直径的两个半圆交于点C,令创=2.如图4,连接由题意知CE〃〃且S弓形w=S弓形RC=S弓形ocy所以S空白折=*^X2X2=2.又因为S/a形⑷=^XnX2~=兀，所以S痂=n-2.所以*宁丄=上
7、严=1—€Q扇形恥11叽(2)与线性规划知识交汇命题的问题.例8、在区间［0,1］上随机选収两个数和，贝0y>2x的概率为()A.-B.-C.-D.424lxlxl解析：J>2x的概率为22_1.选A.1~4(3)与平面向量的线性运算交汇命题的问题.例9、已知"是△加农所在平面内一点，励+兀、+2苑=0.现将一粒黄豆随机撒在厶力虑内，则黄豆落在△砸内的概率是()解析：由题意知点戶位于肚边的屮线的屮点处•记黄豆落在△咙内为事件〃，则V115=5叱
