备战2017年高考高三数学一轮热点难点一网打尽专题13

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1、【备战2017年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】第13讲导数法巧解单调性题考纲要求：1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数不超过三次）.2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数不超过三次）.基础知识回顾：用导数研究函数的单调性（1）用导数证明函数的单调性证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内/（X）＞（＜）0（2）用导数求函数的单调区间求函数的定义域D-＞求导/'（X）解不等式fx）＞（＜）0得解集P-求DAP,得函数的单调递

2、增（减）区间。一般地，函数/（兀）在某个区间可导，/（%）＞0n/（兀）在这个区间是增函数一般地，函数/（兀）在某个区间可导，fx）＜0=＞/（兀）在这个区间是减函数（3）单调性的应用（已知函数单调性）一般地，函数/（兀）在某个区间可导，/（兀）在这个区间是增（减）函数=＞fd）M（5）0【注】①求函数的单调区间，必须优先考虑函数的定义域，然后解不等式/（%）＞（＜）0（不要带等号），最后求二者的交集，把它写成区间。②已知函数的增（减）区间，应得到（W）0,必须要带上等号。③求函数的单调增（减）区间，要解不等式/（x）＞（＜）0,此处不能带上等

3、号。④单调区间一定要写成区间，不能写成集合或不等式；单调区间一般都写成开区间，不要写成闭区间；如果一种区间有多个，中间不能用“U”连接。务应用举例：类型一、判断或证明函数的单调性【例1JL2017山东济南市高三摸底考试】已知函数f{x)=x+a^+b{a,6eR).试讨论fg的单调性.【答案】见解析【解析】十(x)=3x2+2ax,令十(x)=0,解得xl=O,x2=-y.⑴当戶0时，因为if(x)=3x25=0,所以函数f(x)在(-8,+8)上单调递増；(2)当a>0时，x€(-8,-务U(0,+8)时，(x)>0,x€(-号，0)寸，fy(

4、x)<0,所以函数％)在(一8,-瓠(0,+8)上单调递塔，在(一%0)上单调递减；(x)<0,(3〉当a<0B寸，疋(一8,02(-丰，+8》寸，十(x)>0,x€(o,-所以函数f(x)在(一8,0),(+8)上单调递増，在(o,-劄上单调递减・【例2】【2017广东省珠海市高三摸底考试】函数f(x)=ln(x+l)—帛(Q1).讨论f(x)的单调性.【答案】见解析f)=兀[无_(/_2匕)]【解析】f(X)的定义域为(一1,+-),又(兀+1)(兀+。)①当l

5、a)内是增函数;若xW@2—23,0),则广⑴<0,f(x)在(a2-2a,0)内是减函数;若XG(O,+8),则•厂⑴>0,f(x)在(0,+9)内是增函数.②当a=2时，广(兀)20,广(力=0成立当且仅当x=0,f(x)在(一1,+8)内是增函数.③当小2时・，若xe(-l,0),则广(兀)>0,f(x)在(一1,0)内是增函数;若xe(0,a2-2a),则广(兀)〈0,f(x)在(0,a2-2a)内是减函数;若xw(&2—2a,+oo),贝1”©)>0,f(x)在(a2-2a,+切内是增函数.点评：导数法证明函数卅方在(日，力)内的单调性

6、的3步骤(1)一求.求f(力;(2)二定•确认f(X)在(<3,/?)内的符号;(3)三结论.作出结论：f(%)>0时为增函数；f(x)<0时为减函数.研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.类型二.求函数的单调区间【例3]【2017河南省洛阳市一屮高三入学考试】定义在R上的函数代方满足/(%)=(1—自)/+$.•e2v2+%—2f(0)%,g{x)=f(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g3的单调区间.【答案】见解析【解析】⑴十(,)=£'(l)e2x-2+2x-2f(0)…••十⑴二fz(l)+2-

7、2f(0),即f(0)=l.fy1又f(0)—e~2/.f7(1)—2e2,.f(x)=e2x+x2~2x.(2)(x)=e2x+x2-2x,(x)=£*x2+(1-a)x+a=ex-a(x-1),.*.gz(x)=ex-a.①当aWO时,才(x)>0,函数g(x)在R上单调递增；②当3>0时，由g"(x)=ex—a=0得x=lna,•°.x€(—8,Ina)时，gy(x)<0,g(x)单调递,减；x€(lna,+8)时,g，(x)>0,g(x)单调递增.综上，当aWO时，函数萼(x)的单调递増区间为(-8,+8)；当a>OB寸，函数g(x)

8、的单调递増区间为(Ina,+8)，单调递减区间为(一8，Ina).4【例4][2017四川省成都市高三摸底】已知函数f{x)=^y+/(