备战2018年高考数学一轮复习（热点难点）专题67 几何概型的方法破析

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1、专题67几何概型的方法破析考纲要求:(1)了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率.(2)了解几何概型的意义.基础知识回顾:一、几何概型1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．特点：(1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．(2)等可能性：试验结果在每一个区域内均匀分布．二、几何概型的概率公式：P(A)＝应用举例:类型一、与长度(角度)有关的几何概型例1、甲、乙两个人玩一转盘游戏(转盘如图①，“C为弧AB的中点”)，任意转动转盘一次，指针指向圆弧AC时甲胜，指向圆弧BC时乙胜．后来转

2、盘损坏如图②，甲提议连接AD，取AD中点E，若任意转动转盘一次，指针指向线段AE时甲胜，指向线段ED时乙胜．然后继续游戏，你觉得此时游戏还公平吗？答案：________，因为P甲________P乙(填“<”，“>”或“＝”)．【答案】不公平例2【2018届福建省闽侯第四中学高三上期中】已知，是上的两个随机数，则到点的距离大于其到直线x=-1的距离的概率为（）A.B.C.D.【答案】A例3【2018届广西桂林市第十八中学高三上第三次月考】若在上任取实数，则的概率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】∵，∴，∴的概率为故选：A.点评：求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的

3、几何模型转化为长度(角度)．然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度、角度)．类型二、与体积有关的几何概型例4、在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机抽取一点，则该点在三棱锥A1-ABC内的概率是________．【答案】【解析】由题意可知，为几何概型的体积比，不妨设正方体的棱长为1，所以概率.填.例5、一个球形容器的半径为，里面装满纯净水，因不小心混入了1个感冒病毒，从中任取水含有感冒病毒的概率为（）A.B.C.D.【答案】C例6【2018届河南省师范大学附属中学高三8月】在球内任取一点，则点在球的内接正四面体中的概率是（）A.B.C.D.【答案

4、】C类型三、与面积有关的几何概型对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之一．归纳起来常见的命题角度有：(1)与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题．例7【2017届黑龙江省齐齐哈尔市第八中学高三第三次模拟】如图，四边形为正方形，为线段的中点，四边形与四边形也为正方形，连接，，则向多边形中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为（）A.B.C.D.【答案】A(2)与线性规划知识交汇命题的问题．例8【2017届黑龙江省齐齐哈尔市高三上第一次模拟】已知点满足则其满足“”

5、的槪率为（）A.B.C.D.【答案】B(3)与平面向量的线性运算交汇命题的问题．例9、已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0.现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是(　　)A.B.C.D.解析：由题意知点P位于BC边的中线的中点处．记黄豆落在△PBC内为事件D，则P(D)＝＝.(4)与定积分交汇命题问题．例10【2018届安徽省屯溪第一中学高三第二次月考】设是由轴，直线和曲线围成的曲边三角形区域，集合，若向区域上随机投一点，点落在区域内的概率为，则实数的值是(　　)A.B.C.D.【答案】D【解析】根据题意，区域Ω即边长为1的正方形的面积为1×1=1，区域A即曲边三

6、角形的面积为，若向区域Ω上随机投一点P，点P落在区域A内的概率是，则有，解可得，，故选D．点评：求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，通用公式：P(A)＝.方法、规律归纳:1、与长度(角度)有关的几何概型的公式：P(A)＝2、与体积有关的几何概型的公式：P(A)＝.实战演练:1.【2018届衡水11月联考

7、】如图所示是油罐车的轴截面图形，在此图形中任取一点，则此点取自中间矩形部分的概率为（）A.B.C.D.【答案】A2.【2018届辽宁省庄河市高级中学高三上学期开学】在区间上随机取一个的值，执行如下的程序框图，则输出的概率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由条件知，当0≤x≤6，2x﹣1≥3，解得2≤x≤6；当6＜x≤8时，，无解，∴输出的y≥3的概率为.3.【2018届甘肃省兰州第一中学高三上学期第