高考数学一轮复习专题6.3几何概型练习（含解析）

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1、6.3几何概型【套路秘籍】---千里之行始于足下1．几何概型设D是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点．这时，事件A发生的概率与d的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．2．几何概型的概率计算公式一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝.3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1

2、)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．4．随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率fn(A)＝作为所求概率的近似值．【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一长度【例1】某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明

3、在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________．【答案】【解析】如图所示，画出时间轴．小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型，得所求概率P＝＝.【套路总结】求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．【举一反三】1．在区间[0,5]上随机

4、地选择一个数p，则方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为________．【答案】　【解析】　方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根，则有即解得p≥2或

5、式组所表示的平面区域为M，x2＋y2≤1所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为________．【答案】（1）　（2）【解析】（1）蚂蚁活动的范围是在三角形的内部，三角形的边长为6,8,10，是直角三角形，∴面积为×6×8＝24，而“恰在离三个顶点距离都小于1”正好是一个半径为1的半圆，面积为π×12＝，∴根据几何概型的概率公式可知其到三角形顶点的距离小于1的地方的概率为＝.(2)画出两不等式组表示的平面区域，则图中阴影部分为两不等式组的公共部分，易知A(4,4)，B，OA⊥OB，平面区域M的面积S△AOB＝××4＝，阴影部分的面积

6、S＝×π×12＝.由几何概型的概率计算公式，得P＝＝＝【套路总结】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．【举一反三】1．已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是________．【答案】　【解析】　以PB，PC为邻边作平行四边形PBDC，则＋＝，因为＋＋2＝0，所以＋＝－2，得＝－2，由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC距离的，所以S△PBC＝S△ABC，所以

7、将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为＝.2．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m和n，则方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是________．【答案】　【解析】　∵方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，∴m>n.如图，由题意知，在矩形ABCD内任取一点Q(m，n)，点Q落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m＝n恰好将矩形平分，∴所求的概率为P＝.考向三体积【例3】（1）在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD—A1B1C1D1内随机取一点P，则点P