专题：导数及其应用[答案版]

《专题：导数及其应用[答案版]》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、导数及其应用【专题要点】导数的定义:利用导数的定义解题;求导数(包括求导函数和某一点的导数);导数的简单应用,包括求函数的极值,求函数的单调区间,证明函数的单调性等,复现率较高;导数在实际问题中的应用(利润最大,用料最省,效率最高等优化问题);综合考查,将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机地结合在一起，设计综合问题。包括：函数、导数、方程、不等式综合在一起，解决单调性、参数的范围等问题，这类问题涉及含参数的不等式、不等式的恒成立的求解；函数、导数、方程、不等式综合在一起，解决极值、最值等问题，这类问题涉及求极值和极值点、求最值，有时需

2、要借助方程的知识求解；利用导数的几何意义求切线方程，解决与切线方程有关的问题；通过构造函数，以导数为工具证明不等式；导数与解析几何或函数图像的混合问题，这是一个重要问题，也是高考中考察综合能力的一个方向.【考纲要求】⑴了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．⑵熟记基本导数公式（(为有理数),的导数）．掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数要极值点两侧异号），会求一些

3、实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．【知识纵横】【典例精析】1.导数定义的应用例1(北京）函数，_________．解：根据导数的定义知．1.若函数f（x）=2x2－1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+Δx，1+Δy），则等于A.4B.4xC.4+2ΔxD.4+2Δx2解析：Δy=2（1+Δx）2－1－1=2Δx2+4Δx，=4+2Δx.答案：C2.如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3s时的瞬时速度为A.6B.18C.54D.81解析：∵s′=6t2，∴s′

4、t=3=54.2.利用导数研究函数的图像例3（2009安徽高考）设＜b,函数的图像可能是解：，由得，∴当时，取

5、极大值0，当时取极小值且极小值为负．故选C．或当时，当时，选C．点评:通过导数研究函数图像的变化规律,也是考试的热点题型.例4（2009年湖南卷）若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是yababaoxoxybaoxyoxybA．B．C．D．解:因为函数的导函数在区间上是增函数，即在区间上各点处函数的变化率是递增的，故图像应越来越陡峭．由图易知选A.点评：这是一道非常精彩的好题，题目考察了导数的概念——函数的变化率以及图像的变化规律，是以高等数学中函数图像的凹凸性为背景命制的，虽然试题的设计来源于高等数学，但考察的还是中学所学的初等数学知识．这也是近年来高考命题的一大

6、特色．3.利用导数解决函数的单调性问题例5（2008全国高考）已知函数，．（Ⅰ）讨论函数的单调区间；（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．解：（1）求导得当时，，，在上递增；当，求得两根为，即在递增，递减，递增。（2）因为函数在区间内是减函数，所以当时恒成立，结合二次函数的图像可知解得．点评：函数在某区间上单调转化为导函数或在区间上恒成立问题，是解决这类问题的通法．本题也可以由函数在上递减，所以求解．【变式1】（2004年全国高考）若函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，求实数的取值范围．解：，令得或，结合图像知，故．点评：本题也可转化为恒成立且恒成立来解．【变式2】(2005

7、年湖南高考)已知函数存在单调递减区间，求a的取值范围；解：因为函数存在单调递减区间，所以在上解，从而有正解．①当时，为开口向上的抛物线，总有正解；②当时，为开口向下的抛物线，要使总有正解，则,解得．综上所述，a的取值范围为．【变式3】（2009浙江高考）已知函数．若函数在区间上不单调，求的取值范围．解：函数在区间不单调，等价于在区间上有实数解，且无重根．又，由，得。从而或解得或所以的取值范围是点评：这种逆向设问方式是今后高考命题的一种趋势，充分体现高考“能力立意”的思想，高考中应高度重视。（4）利用导数的几何意义研究曲线的切线问题例6（2009江西高考）若存在过点的直线与曲线和都相切，

8、则等于A．或B．或C．或D．或解：设过的直线与相切于点，所以切线方程为即，又在切线上，则或，当时，由与相切可得，当时，由与相切可得，所以选.点评：函数的切线问题，切点是关键，因为它是联结曲线和其切线的“桥梁”，在做题中往往需要设出切点．【变式】（2008辽宁高考）设为曲线：上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（）A．B．C．D．解：由曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，可得曲线在点处切线的斜率范围为，又，设点的横坐标