高中数学第三章空间向量与立体几何31空间向量及其运算空间向量的数量积运算素材

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1、空间向量的数量积运算知识点一求两向量的数量积例H如图所示，已知正四面体O-ABC的棱长为a,求AB・0C..IAC=AO=a，且〈农,AO〉二120°仁题豐I,(AB,CA>=而•说二二而•刃二a2cosl20u-AB120°而•(刃-CA)-AB・CA,a2cosl20°=0【反思感悟】在求两向量的夹角时一定要注意两向量的起点必须在同一点，如〈殛，走）=60°时，〈而，励〉=120°.已知长方体ABCD—ABCDW，AB=AAi=2,肋=4,〃为弘的屮点，尸为的中点，试讣算:(1)BC•ED；(2)BF•(3)EF•FCi.解如图

2、所示,设AB=a,AD=b,A/h=c,则a=c=2,

3、b=4,a•b=b9c=c9a(1)⑵BC•ED二b•[丄(c—a)+b]=

4、b

5、2=42=16..2—.1BF•AB=(c—a+—b)•(a+c)=

6、c

7、2—

8、a

9、2=22—22=0.2iilliii(3)EF・FC=[-(c—a)・(~A+a)=-(~a+A+c)・=—-

10、a

11、2+~"

12、2=2.知识点二利用数量积求角@例2如图，在空间四边形OABC屮,创=8,AB=6,AC=4fBC=5,ZOAC=4^°,Z刃〃=60°,求％与力所成角的余弦值.解.因BC=AC-AB,

13、所以刃•就二刃•紀—刃•而cos〈OA,AB〉=OA\ACcos(OA,AC)-OA\AB二8X4Xcosl35°-8X6Xcosl20°=-16血+24,所以COS<04,~BC>=OA\BC24-16^/23-2^2=8X5=5•即创与％所成角的余弦值为匕纠2变式迁移2【反思感悟】在异面直线上取两个向量，则两异血直线所成角的问题可转化为两向量的夹角问题.需注意的是：转化前后的两个角的关系可能相等也可能互补.在二面角a_1—B中，昇，BEa,QDj昇彩为矩形，PEB,以丄。，且PA=AD.K艸依次是/从&的中点.(1)求二面

14、角ci—1—/3的大小；(2)求证：MN1AB；(3)求异面直线以与协「所成角的大小.⑴解TPA丄a,1Ca・・・PA丄1,又TAD丄1,PAAAD=A,・・・1丄平面PAD,・・・1丄PD,故ZADP为二面角a-1-B的平面角,由PA二AD得ZADP=45°.•I二面角a-1-P的大小为45°.(2)证明PC=PD+DC,~PN=挤=拚+扳4(乔一狷+加,AN=PN-PA=PN+旋AN=-AD+紡+競；2厶厶MN=AA'-Mf=AD+^AP+^DC-^DC=-AD+^AP,•；ADLAB,APIAB22・•・乔•而=0,乔・~AB=0,(3)

15、解设AP=a9由⑵得MN=-AD+^AP22乔•丽=丄刁万・乔+占苏儿看=当才,22ZIAP

16、=

17、乔

18、=日，・・・COS

19、n.因为1•z»=0,1•力=0,所以Z・g=0,所以l±g.即/丄g这就证明了直线/垂直于平面Q内的任意一条直线，所以/丄a.【反思感悟】证明两直线垂直可转化为证明两直线的方向向量垂直，即证明两向量数变式迁移3量积为零.已知：在空间四边形创力中，OALBC,OBLAQ求证：OCLAB.证明T0A丄BC,0B丄AC,・・・OA・BC=0,OB・AC=0.OC・AB=(OB+BC)・OB・AC+OB・彥+貶・花+反？・~CB=OB■~CB+~BC^（AC+~C^）=OB・~CB+~BC・AB=^C・（方万+宛=庞・忌=0,・•・况丄乔,AOCVA

20、B.课堂小结：空间两个向量£，方的数量积，仍旧保留平面向量中数量积的形式，即：a-b=a//bcos,这里〈£,b）表示空间两向量所成的角（0W

21、訂./方

22、‘求两直线的夹角.⑶利用Ia2=a・a,求解有关线段的长度问题.课时作业一、选择题1.若£，b均为非零向量，则a-b

23、=al/b是$与b共线的（）A.充分不必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件答案A解析a•b=a//A

24、cos〈曰，b）