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《高中数学第三章空间向量与立体几何31空间向量及其运算空间向量的数量积运算素材》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、空间向量的数量积运算知识点一求两向量的数量积例H如图所示,已知正四面体O-ABC的棱长为a,求AB・0C..IAC=AO=a,且〈农,AO〉二120°仁题豐I,(AB,CA>=而•说二二而•刃二a2cosl20u-AB120°而•(刃-CA)-AB・CA,a2cosl20°=0【反思感悟】在求两向量的夹角时一定要注意两向量的起点必须在同一点,如〈殛,走)=60°时,〈而,励〉=120°.已知长方体ABCD—ABCDW,AB=AAi=2,肋=4,〃为弘的屮点,尸为的中点,试讣算:(1)BC•ED;(2)BF•(3)EF•FCi.解如图
2、所示,设AB=a,AD=b,A/h=c,则a=c=2,
3、b=4,a•b=b9c=c9a(1)⑵BC•ED二b•[丄(c—a)+b]=
4、b
5、2=42=16..2—.1BF•AB=(c—a+—b)•(a+c)=
6、c
7、2—
8、a
9、2=22—22=0.2iilliii(3)EF・FC=[-(c—a)・(~A+a)=-(~a+A+c)・=—-
10、a
11、2+~"
12、2=2.知识点二利用数量积求角@例2如图,在空间四边形OABC屮,创=8,AB=6,AC=4fBC=5,ZOAC=4^°,Z刃〃=60°,求%与力所成角的余弦值.解.因BC=AC-AB,
13、所以刃•就二刃•紀—刃•而cos〈OA,AB〉=OA\ACcos(OA,AC)-OA\AB二8X4Xcosl35°-8X6Xcosl20°=-16血+24,所以COS<04,~BC>=OA\BC24-16^/23-2^2=8X5=5•即创与%所成角的余弦值为匕纠2变式迁移2【反思感悟】在异面直线上取两个向量,则两异血直线所成角的问题可转化为两向量的夹角问题.需注意的是:转化前后的两个角的关系可能相等也可能互补.在二面角a_1—B中,昇,BEa,QDj昇彩为矩形,PEB,以丄。,且PA=AD.K艸依次是/从&的中点.(1)求二面
14、角ci—1—/3的大小;(2)求证:MN1AB;(3)求异面直线以与协「所成角的大小.⑴解TPA丄a,1Ca・・・PA丄1,又TAD丄1,PAAAD=A,・・・1丄平面PAD,・・・1丄PD,故ZADP为二面角a-1-B的平面角,由PA二AD得ZADP=45°.•I二面角a-1-P的大小为45°.(2)证明PC=PD+DC,~PN=挤=拚+扳4(乔一狷+加,AN=PN-PA=PN+旋AN=-AD+紡+競;2厶厶MN=AA'-Mf=AD+^AP+^DC-^DC=-AD+^AP,•;ADLAB,APIAB22・•・乔•而=0,乔・~AB=0,(3)
15、解设AP=a9由⑵得MN=-AD+^AP22乔•丽=丄刁万・乔+占苏儿看=当才,22ZIAP
16、=
17、乔
18、=日,・・・COS19、n.因为1•z»=0,1•力=0,所以Z・g=0,所以l±g.即/丄g这就证明了直线/垂直于平面Q内的任意一条直线,所以/丄a.【反思感悟】证明两直线垂直可转化为证明两直线的方向向量垂直,即证明两向量数变式迁移3量积为零.已知:在空间四边形创力中,OALBC,OBLAQ求证:OCLAB.证明T0A丄BC,0B丄AC,・・・OA・BC=0,OB・AC=0.OC・AB=(OB+BC)・OB・AC+OB・彥+貶・花+反?・~CB=OB■~CB+~BC^(AC+~C^)=OB・~CB+~BC・AB=^C・(方万+宛=庞・忌=0,・•・况丄乔,AOCVA
20、B.课堂小结:空间两个向量£,方的数量积,仍旧保留平面向量中数量积的形式,即:a-b=a//bcos,这里〈£,b)表示空间两向量所成的角(0W21、訂./方
22、‘求两直线的夹角.⑶利用Ia2=a・a,求解有关线段的长度问题.课时作业一、选择题1.若£,b均为非零向量,则a-b
23、=al/b是$与b共线的()A.充分不必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件答案A解析a•b=a//A
24、cos〈曰,b)