高等数学期中试卷090405

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1、考生注意：所有答案(包括填空题)按试题序号写在答题纸上，写在试卷上不给分一、填空题(本题共10小题，每小题3分，满分30分)⑴已知同=5,间=2,@,方)=冬,贝ij：

2、(23-3^)x(3+26)

3、35V3・222⑵(0,0,0)关于平而兀+y+z=1的对称点为,—)•X=+t(3)当£满足_£=3或£=———时，直线:y=2+kt与平面2x+^-V5z+5=0夹角z=3⑷函数z=/(x,y)在点(X,刃处可微的充分条件为_偏导数连续，必要条件为—函数连续且偏导数存在.⑸若u=ez,则du

4、(

5、11,=_6,_1(-2dx-dy+dz

6、).⑹曲线x=(t+l)y=tz=y/l+t2在点(1,0,1)处的切线为x-_y_z-_T〒-T(7)函数w=ln(x2+y2)在点M(3,4)处沿梯度方向的方向导数-.⑻交换积分次序：J：")j：my皿+J:dyf>/(X,y)dx=f(x,y)dy⑼设D是由x2+(>-l)2=1与兀=0所围第一象限部分，则\(x2+y2)dxdy在极坐标下D的累次积分为仃0)设Q由z2=x24-与柱面x2+r=1围成的在第一卦限内的闭区域，则1=出7(兀,y,z)山化为直角坐标系下的三次积分为Q/（兀jz）dz二、计算题(本题共5小题，每小

7、题6分，满分30分)(1)求过点M(3,1,-2)且通过直线送里二上尹二

8、的平面方程.⑵设g(u,v)A有二阶连续偏导数，£(兀,刃=/［小,扣2一于)］,求器及釜.⑶设/(%)=f,求Vf{x)dx.Jo龙一/Jo(3)求函数z=x3-4x2+2xy-y2的极值.(4)求柱面x2+z2=a2含在柱面x24-j2=a2(a>0)内的部分面积.兀2z2三、(本题满分8分)求在曲面S:—+^2+—=1上平行于平面兀：2x+2y+z+5二0的2*4•切平面方程.四、(本题满分8分)某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为兀台和y台，成本函数为c(x

9、,y)=x2+2y2-xy(万元)若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生产，总成本最少？最小成本为多少？五、(本题满分8分)设(p{u.v)为可微函数，证明由方程(p(cx-az.cy-bz)=0所确定的函数z=zg)满足方程痒+烬二c,其中a、b、c为常数，并说明曲面oxdyz=z(x,y)的特点.六、(本题满分8分)设a>0,物体占有空间。是由yoz坐标面上曲线)/+z?=2血绕z轴旋一周所形成的曲面所围成的闭区域，体密度函数为常数P。，求旋转曲面的方程，以及该物体对于坐标原点的转动惯量.七、(本题满分8分)(1)设函数f(x)

10、连续且恒大于零，Q(t)={(x,y9z)x2+y2+z2

11、8-£dxLf(x9y)dy2/gy,z)dz每小题6分，满分30分)1.【解】所求平面的法线向量与直线罟二罟的方向向量yi=(5,2,l)垂直.因为点(3,1,-2)和(4,-3,0)都在所求的平面上，所以所求平面的法线向量与向量s2=(4,-3,0)-(3,1,-2)=(1,-4,2)也是垂直的.因此所求平面的法线向量可取为9.f—f2sin^qPdr计算题(本题共5小题,10./2=®x*=521=8i-9j-22k.1-42所求平面的方程为8(x-3)—9(y-l)-22(z+2)=0,即8x-9>-22z-59=O.2.【解】弊

12、呼+畔,oxduuvayduov2d2fcd2f2d2fdfa?*亦+2巧臥+兀示r+齐a2ga2/(2“/a2/df—=xy—+(x—y)—-xy—+—.dyx°du^dvdudv^dudvdu3.【解】「/(兀皿=「［'S{ntdtdx=dtSintdx=sintdt=2JoJoJoJI—fJoJt兀_lJo4.【解】zx=3x-Sx+2y=0得驻点(o,o),(2,2)z$=2x-2y=0对(0,0),A=zxx=一&B=Zxy=2,c=z),),=—2B2一AC=-12<0,且AvO,故函数z在(0,0)点取极大值z(0,0)=0对

13、(2,2),A=z^=4,B=Zx),=2,C=z),),=—2B2-AC=12>0,故函数z在(1,1)点不取极值。2-%2,则dA=dxdy,5.【解】设第一卦限面积为A】，