2009高等数学(上)期中试卷

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1、中国矿业大学《高等数学》（上）期中试卷（2009级统考考试时间100分钟）班级姓名学号成绩1（10分）求极限。2（10分）求曲线的水平渐近线方程。3（10分）求函数在闭区间上的最大值和最小值。84（10分），并判断它是否为极值点。5（10分）设，求。6（10分）设常数，判断方程在内实根的个数，并说明理由。87（10分）已知曲线L的方程为，（1）讨论L的凹凸性；（2）过点引L的切线，求切线的方程。8（10分）（1）写出的带有佩亚诺型余项的3阶麦克劳林公式；（2）确定常数A、B、C的值，使。89（10分）在椭圆的第一象限部分上求一点P，使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围面积最小（其中，椭圆面积

2、）。10（10分）设在上具有二阶导数，且及。证明：（1）在区间内至少存在一点，使；（2）在区间内至少存在一点，使。8中国矿业大学《高等数学》（上）期中试卷参考评分标准（2009级统考考试时间100分钟）1（10分）求极限。解5分5分2（10分）求曲线的水平渐近线方程。解：，6分，所以，水平渐近线方程为。4分3（10分）求函数在闭区间上的最大值和最小值。解　，得驻点和不可导点。4分由，3分比较可得最大值为，最小值为3分4（10分），解：，代入方程：，得唯一驻点：x=15分所以，，故x=1为极小点。5分5（10分）设，求解　当时，，3分83分3分所以，在点不可导。1分6（10分）设常数，判断方

3、程在内实根的个数，并说明理由。解设，，当时，，单调减少；当时，，单调增加；5分又，，，所以，方程在和内分别有且仅有一个实根。5分7（10分）已知曲线L的方程为，（1）讨论L的凹凸性；（2）过点引L的切线，求切线的方程。解：（1）5分（2）切线方程为，设切点，，则得8切点为（2，3），切线方程为5分8（10分）（1）写出的带有佩亚诺型余项的3阶麦克劳林公式；（2）确定常数A、B、C的值，使。解：（1）麦克劳林公式，3分（2）由（1）代入已知等式整理得比较两边同次幂函数得B+1=A，C+B+=0，，解得，，。7分9（10分）在椭圆的第一象限部分上求一点P，使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围面积

4、最小（其中，椭圆面积）。解设切点为，椭圆方程两边求导，得斜率，切线方程为，即，图形面积，5分设，，得唯一驻点，由实际问题知，此时面积最小。故，所求点为。5分810（10分）设在上具有二阶导数，且及。证明：（1）在区间内至少存在一点，使；（2）在区间内至少存在一点，使。证（1）不妨设，。因为，由保号性定理知，类似地，，由介值定理知必有，使得，5分（2）由（1）及已知条件，由罗尔定理知，使得，对再用罗尔定理，使得，证毕。5分8