2009高等数学(上)期中试卷

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1、中国矿业大学《高等数学》(上)期中试卷(2009级统考考试时间100分钟)班级姓名学号成绩1(10分)求极限。2(10分)求曲线的水平渐近线方程。3(10分)求函数在闭区间上的最大值和最小值。84(10分),并判断它是否为极值点。5(10分)设,求。6(10分)设常数,判断方程在内实根的个数,并说明理由。87(10分)已知曲线L的方程为,(1)讨论L的凹凸性;(2)过点引L的切线,求切线的方程。8(10分)(1)写出的带有佩亚诺型余项的3阶麦克劳林公式;(2)确定常数A、B、C的值,使。89(10分)在椭圆的第一象限部分上求一点P,使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围面积最小(其中,椭圆面积

2、)。10(10分)设在上具有二阶导数,且及。证明:(1)在区间内至少存在一点,使;(2)在区间内至少存在一点,使。8中国矿业大学《高等数学》(上)期中试卷参考评分标准(2009级统考考试时间100分钟)1(10分)求极限。解5分5分2(10分)求曲线的水平渐近线方程。解:,6分,所以,水平渐近线方程为。4分3(10分)求函数在闭区间上的最大值和最小值。解 ,得驻点和不可导点。4分由,3分比较可得最大值为,最小值为3分4(10分),解:,代入方程:,得唯一驻点:x=15分所以,,故x=1为极小点。5分5(10分)设,求解 当时,,3分83分3分所以,在点不可导。1分6(10分)设常数,判断方

3、程在内实根的个数,并说明理由。解设,,当时,,单调减少;当时,,单调增加;5分又,,,所以,方程在和内分别有且仅有一个实根。5分7(10分)已知曲线L的方程为,(1)讨论L的凹凸性;(2)过点引L的切线,求切线的方程。解:(1)5分(2)切线方程为,设切点,,则得8切点为(2,3),切线方程为5分8(10分)(1)写出的带有佩亚诺型余项的3阶麦克劳林公式;(2)确定常数A、B、C的值,使。解:(1)麦克劳林公式,3分(2)由(1)代入已知等式整理得比较两边同次幂函数得B+1=A,C+B+=0,,解得,,。7分9(10分)在椭圆的第一象限部分上求一点P,使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围面积

4、最小(其中,椭圆面积)。解设切点为,椭圆方程两边求导,得斜率,切线方程为,即,图形面积,5分设,,得唯一驻点,由实际问题知,此时面积最小。故,所求点为。5分810(10分)设在上具有二阶导数,且及。证明:(1)在区间内至少存在一点,使;(2)在区间内至少存在一点,使。证(1)不妨设,。因为,由保号性定理知,类似地,,由介值定理知必有,使得,5分(2)由(1)及已知条件,由罗尔定理知,使得,对再用罗尔定理,使得,证毕。5分8

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