2010高等数学(上)期中试卷

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1、中国矿业大学《高等数学》（上）期中试卷参考评分标准1xsinxcosx1（10分）求极限lim2x0x1xsinxcosx1xsinxcosx解limlim3分x0x2x0x2(1xsinxcosx)11xsinxcosx1xcosx2sinx3limlim7分2x0x22x02x4xe12（10分)求极限lim(arctan)xxxe1xe1解lim(arctan)x1()，3分xxe122xe1lim(arctan)1x3分x

2、xe122xe1所以，lim(arctan)x4分xxe12x223（10分）已知当x0时，e(axbx)1是比x高阶的无穷小，求常数a,b.x2xe(axbx)1e2axb解由limlim0可得b15分2x0xx02xxxe2axbe2a1由limlim0可得a5分x02xx0222xx2或：由e1xo(x)即可得结果。2nxlntdy4（10分）已知yt求ndxdy()t解：t，4分dx(ln)t12dy(t)

3、2t，3分dx2(lnt)ndynt3分ndx325（10分）求函数f()(25)xxx在闭区间[1,2]上的最大值和最小值。10x1解f(x)，得驻点x1和不可导点x0。4分33x2由ffff(1)3,(0)0,(1)7,(2)23，3分比较可得最大值为f)0(0，最小值为f()1.73分3226（10分）设由yyxyyx()222yx1确定，求yyx()的极值。2解：642yyyyyx2yx20，令得yy0x32代入方

4、程：21xx0，得唯一驻点：x=15分22212yy()6yy4()y4yyyxy42201所以，yx10，故x=1为极小点。yy极小=(1)=15分y121xarctan,x07（10分）设函数f(x)x2，讨论f(x)在点x0处的连续性。,0x0f(x)f)0(1解：（1）f)0(limlimarctan3分x0xx0x22212xarctan24,x0x1xf(x)3分,x02212x（2）l

5、imf(x)lim(arctan)f)0(24x0x0x1x2所以，f(x)在点x0处连续。4分8（10分）设函数yf(x)在点a的某邻域内三阶可导，如果f(a),0fa()0,fa()0,问xa是否为yf(x)的极值点？点(a,f(a))是否为拐点？并说明理由。2解：不妨设f(a).0由f(a),0f(a)0可知，xa是f(x)的极小点，所以有f(x)f(a),0xU(a,)，从而xa不是极值点。5分1f(x)f(a)f

6、(x)由f(a)limlim0知xaxaxaxaf(x)0，xU(a,)2xa因此，f(x)在xa点两侧变号，所以，点(a,f(a))是拐点。5分229（10分）对任意实数x，证明不等式：1xln(x1x)1x22证明设f(x)1xln(x1x)1x21f(x)ln(x1x)，f(x)0，21x所以f(x)单调增加。4分当x0时，f(x)f)0(0，f(x)单调减少，f(x)f)0(0当x0时，f(x)f)0(

7、0，f(x)单调增加，f(x)f)0(0所以，对任意实数x有f(x)0，即221xln(x1x)1x6分1或：x0是函数f(x)唯一的驻点，且f)0(1021xx0所以，x0是函数f(x)的极小点，也是最小点。因此，对任意实数x有22f(x)f)0(0，即1xln(x1x)1x10（8分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f)0(0，f)1(1。证明：（1）代数方程f(x)x10至少存在一个实根；（2）存在两个不同的点,1,0(),

8、使得f()f().112123证（1）令g(x)f(x)x1，则g(x)在[0，1]上连续，且g)0(1,0g)1(1,0所以存在x)1,0(，使得0gx()()fxx104分000（2）根据拉格朗日中值定理，存在,0(x),(x1,),使得1020f(x)f)0(1xf()0