专题22+数列综合-高中数学经典错题深度剖析及针对训练+Word版含解析

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1、高中数学经典错题深度剖析及针对训练第22讲：数列综合【标题oi】混淆了数列匕｝和数列的w【习题01】已知数列｛匕｝满足坷=1,。2=+，且[3+(—1)“]匕+2—2%+2[(—1)"—1]=0,neN(1)求色卫4卫5卫6的值及数列｛色｝的通项公式;(2)设»=叽叫5丘心求数列也｝的前〃项和S”.【经典错解】(1)由已知得色=3,為=丄，。5=5,%=—•48当斤为奇数时，d”+2=Q”+2,所以数列的奇数项组成一个等差数列,所以ain-1==1+（2斤-2）2-2n-3=2/?-1-2an=n・2当几为偶数时，©+2二丄色，所以数列的偶数项组成一个等比数列,

2、n=2k八（k"M212因此，数列｛/｝的通项公式为alt=

3、K-r1t2(2)下略.【详细正解】(1)由已知得=3,為=+，。5=5,%=£•当n为奇数时，二匕+2,所以数列的奇数项勺门组成一个等差数列｛。2心｝，令ain~^n'仇=勺+（〃-1）2=q+2斤-2=2〃-1a2n^,=2n・1an-n所以a2n-1=G

4、（g）2""=1+（2斤-2）2=2n-3=2/?-1-2an=n・2当〃为偶数时，Cig-an,所以数列的偶数项tz2?J组成一个等比数列｛勺"｝，ljaw-Il1-1fl21nn=2k-10?NJ因此，数列｛%｝的通项公式为［n

5、(-)

6、2n=2k(kdN)(2)因为bn=a2n_^a2n,则S〃=1・£+3・(；)2+5・(£)3+.・・+(2m_3)・(；)i+(2h—1)・(£t，222221S“=1•4)2+3•4)3+5•(】)4+-+(2/7-3).(异+(2n—1)•(］)w'222222两式错位相减得_S=—f2-(_)~+2•(_)'+2-(_)4H2-(_)"—(2/?—1)•(_)H+I22222221I3i=-+亠Y——⑵2-1)-(-)，，+1=斗一(2卄3)(-)w+,2j_l222_2・・・S〃=3-(2n+3)(”【深度剖析】(1)经典错解错在混淆了数列｛q｝和数列｛勺

7、小｝」％｝的(2)本身这种题是容易混淆的,为了避免和好理解,用换元法最好，令®=吆_】和氏=%一这样就不会出错了-今后遇到类似情况,换元可以减少麻烦.【习题01针对训练】定义：项数为偶数的数列，若奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，则称该数列为“对偶数列”・(1)若项数为20项的“对偶数列”｛。”｝,前4项为1,1,3,丄，求该数列的通项公式及20项的和；2(2)设项数为2m(meN*)的“对偶数列”｛色｝前4项为1,1,3,*,试求该数列前n(1<«<2/7?,hg/V*)项的和Sn；(3)求证：等差数列［afl｝(an0)为“对偶数列”当且仅当数列｛%｝为非零常数

8、数列.【标题02】放缩不等式求和时没有分类讨论2V12【习题02】设数列｛a讣的前〃项和为S八已知^=1,—二色+

9、——/—一,«gN71331117⑴求⑦的值；⑵求数列｛色｝的通项公式；(3)证明：对一切正整数弘有一+—+•••+—V—.舛口2an42Vi2【经典错解】(1)解：•••—=q冲—一卅—〃—一,neN3312当n=1时，2°

10、=2Sj=tz2——-1—122=匕+1一一〃一门一一n,,+1332V(2)解：•••一•••2Sn=nan+l3色一2又q=1，•*.a2=4neNJ/(〃一1)〃(斤+1)・••当n>2^,2S心=(7?—1)色由①

11、一②，得2Sn-25^=nan+i-[n-i)an-n{n+)•••2色=2S”-2S〃t•••2an=nan^_(〃_1)色-n(/?+l)仏=1・•・数列h+1n是以首项为管，公差为1的等差数列.•.—=1+lx(n-1)=n,r.an=n2(/?>2)n当斤=1时,上式显然成立••••5=n2,neN(3)证明:由(2)知Lan=n2.neAT•••rv〉(农一1)1111+亠+丄+•••+——+—————-1x32x4(n-2)-n(n-l)-(n+l)(1>1+-2<11、1丄<11]1+2<11]14-r11)U3；<24丿I2<35；

12、2JM—171+1)1lfl11111111<132435n-2nn-+1)1+

13、(1」11]71—J-<11]<12nn+1丿—423时,11—+—&a2・・・/>(—1)0+1),・・・+<(-])©+])+・・・+丄二+丄+・・・+丄<1+丄+丄+anI222n