高考数学 经典错题深度剖析及针对训练 专题22 数列综合

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1、专题22数列综合【标题01】混淆了数列和数列的“”【习题01】已知数列满足，，且,.（1）求的值及数列的通项公式；（2）设()，求数列的前项和.【经典错解】（1）由已知得当为奇数时，，所以数列的奇数项组成一个等差数列，所以当为偶数时，，所以数列的偶数项组成一个等比数列，所以因此，数列{an}的通项公式为（2）下略.【详细正解】（1）由已知得当为奇数时，，所以数列的奇数项组成一个等差数列，令所以当为偶数时，，所以数列的偶数项组成一个等比数列，因此，数列的通项公式为（2）因为，则，，两式错位相减得【习题

2、01针对训练】定义：项数为偶数的数列，若奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，则称该数列为“对偶数列”．（1）若项数为项的“对偶数列”，前项为，求该数列的通项公式及项的和；（2）设项数为（）的“对偶数列”前项为，试求该数列前（，）项的和；（3）求证：等差数列为“对偶数列”当且仅当数列为非零常数数列．【标题02】放缩不等式求和时没有分类讨论【习题02】设数列的前项和为.已知,,.(1)求的值；(2)求数列的通项公式；(3)证明:对一切正整数,有.【经典错解】(1)解：，.当时，又，（2）解：，.①当时，

3、②由①—②，得数列是以首项为，公差为的等差数列.当时，上式显然成立.（3）证明：由（2）知，原不等式亦成立.综上，对一切正整数，有.【详细正解】（1）同上；（2）同上；（3）证明：由（2）知，①当时，，原不等式成立.②当时,,原不等式亦成立.③当时,当时,，原不等式亦成立.综上，对一切正整数，有.【习题02针对训练】已知数列满足，，令.（Ⅰ）求证：是等比数列；（Ⅱ）记数列的前n项和为，求；（Ⅲ）求证：.【标题03】对等比数列的判断方法没有理解透彻【习题03】设数列满足，的前项和为，数列满足．（l）若

4、，求;（2）试判断数列是否为等比数列？请说明理由；（3）若，，且．试比较与的大小，并证明你的结论．【经典错解】（1）∵，且，∴，，．∴.（2）∵，．所以数列是以为首项，为公比的等比数列.（3）．事实上，由（2）知，当时，，则．∴是以为首项，为公差的等差数列，∴．∵，且，∴．∴.【详细正解】（1）同上；（2）∵，．又∵，∴当时，，此时不是等比数列，当时，，则．故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列.（3）同上【深度剖析】（1）经典错解错在对等比数列的判断方法没有理解透彻.（2）要判断一个数列是等比数

5、列，需要证明和，但是错解只证明了，忽略了对首项是否为零的讨论，所以是错的.所以今后要判断一个数列是等比数列，一般先求的值，如果不是同一常数，数列不是等比数列，如果，然后求出它的首项，看它的首项是否为零，如果首项不为零，就是一个等比数列，否则也不是.【习题03针对训练】设数列的前项和为，且.（1）证明数列为等比数列;（2）求的前项和.【标题04】逻辑不严谨忽略了等式的性质【习题04】求和.【经典错解】令，则两式相减得【详细正解】若，则；若，则.若，且时令则两式相减得【习题04针对训练】设数列满足,（1

6、）求数列的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n,.【标题05】弄错了数列的首项【习题05】已知数列满足，.（1）令，证明：是等比数列；（2）求的通项公式.【经典错解】（1）.当时，，∴是首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）可得，∴，下面的略.【详细正解】（1）当时，，∴是首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）可得，∴，∴，，，∴，当时，也符合，∴【习题05针对训练】在数列中，，．（1）设．证明：数列是等差数列；（2）求数列的前项和．【标题06】等比数列求和弄错了数列的项数【习题06】已知数列

7、的前项和，数列满足，，且（）.（1）求数列和的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【经典错解】（1）由题意知①，当时，②，①-②得，即，又，∴，故数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，由（）知，数列是等差数列，设其公差为，则，故，综上，数列和的通项公式分别为.（2）∵，∴③④③-④得，.下面略.【详细正解】（1）同上（2）∵，∴③④③-④得，,即，∴【深度剖析】（1）经典错解错在等比数列求和时弄错了数列的项数.（2）经典错解没有认真观察，凭经验得到数列有项，实际上这个数列有项，所以在观察数列有多少

8、项时，一定既要观察首项，也要观察末项，要瞻前顾后，这才是科学的严谨的.（3）数列的首项、项数、末项等是很容易错的基本量，所以在解答数列题时，在这些地方要谨慎细心.【习题06针对训练】已知数列的前项和与通项满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求；（3）若，求的前项和.【标题07】不一定能说明是使得成立的最大自然数【习题07】若数列是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最大自然数是（　　）　A．B．C．D．【经典错解】∵，，，∴首项大于零的递减的等差数列，∴,故选.【