微分学多元函数习题解

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1、第7章多元函数微分学§1多元函数的基本概念内容概要区域定义邻域R"空间中点Po的6邻域为t/(G)={P11C)P1<①平面上点恥0，儿)的§邻域为"£))={(兀，刃1J(兀-兀0)2+0-儿)2<5}多元函数定义D为平面上菲空点集，如果对D屮任一点(X,>'),按某种法则于，都有唯一确定的实数Z与之对应，则称/为D上的二元函数，记z=/(%,y)，O,y)wD,d为定义域。儿何意义：z=f(x,y)为空间［III面，D为曲面在xoy面上投影。可定义三元及以上函数。二1极限Vzr>0,3^>0,当J(兀_兀0)2+(y_%))2<8时，恒有

2、1f(x9y)-A<£,则称limf(x,y)=A.yfo注：其中(兀,刃一(无，儿)为任意方式。从而若(兀,刃以不同方式趋于(兀0，儿)时，/(兀刃无限靠近不同的常数，则二垂极限不存在。多元函数连续若lim/(x,y)=/(x0,y0),则函数z=f(x,y)在(x0,y0)连续。XT勺y->y0初等函数在其定义区域内连续。闭区域上连续函数必有最大、最下值：有界：满足介值定理。习题一、★1.设/(兀,刃=孑兀)°,求/(h-)ojt+yx2y解："亠^-=丰兀i2+(z)2x+y★2.已知函数f(u,v,w)=uw+wll+v，试求/(兀

3、+。解:f(x+y,x一y,xy)=(x+y)xy+(xy)2x★★3.设z=x+y+/(兀一y),且当y=0时，z=x2,求/(兀)。解：将y=0代入原式得：x1=x+O+/(x-O),故/(x)=x2-x［求下列函数的定义域：★(1)z=ln(j2-2x+l)解：要使表达式有意义，必须/-2x+I>0・•.所求定义域为D={(x,y)y2-2x+l>0}解：要使表达式有意义，必须x-yfy>0,D={(x,y)x>y[y}★★(3)u=arccosz/??解：要使表达式有意义，必须-1<.Z^<1・••D={(x,y,z)I-y/x—

4、Jxy+4★★(2)lim皿xy知识点：二重极限。思路：应用有理化方法去根号。(3)lim(x2+y2)e^x+y)y->*oo+y2<^0解：要使表达式有意义，必须U-x2-y2>0・•.P={(x,?')IO0解：要使表达式有意义，必须Jx>0・•・D={(x,y)x2^y205.求下列极限：★(i)limXTly->(

5、)ln(x+R)解:=limt；戏小(2+Jxy+4)知识点：二匝极限。思路：(1,0)为函数定义域内的点，故极限值等于函数值。解:=ln2vln(x+ev)In2lim[•=；->o+bi解:原式im("y)2—2卩X->-H20y—>+oo・・・lim—=0,lim^-=0X->-KOg'XT+ceg'y->+oOlim—x—>+4<0g"lim—0,lim(F+y2)严y)=0JVT8y—>oc知识点：二頂极限。思路：先作变量替换，然厉对未定型2应用洛必达法则及等价无穷小量替换。0解：令yjx2+y2=u,则O,y)

6、T(0,0)时，.亠vu-sinit必达十1-cosuv21原式=lim——=lim=lim=—"to+u“T(r3w3u6★★★(6)limA->0)—0l-cos(x2+)")解.linJ—c°E+1—cos(F+〉，2)x2y2=lim—lime"'=lim90皿(兀+y)皿；M(兀+Q]2l-cos(x2+y2)v2+y2=M1-cosuv2W八-lim=lim——=0“->()•Il"T()°l{6.证明卜•列极限不存在知识点：二電极限。思路：若（x,y）沿不同illi线趋于（心，儿）时，极限值不同，则二重极限不存在。limx+y证

7、：取y=kx，贝ijlimA±l=

8、irn£±121=l±A＞易见极限会随R值的变化而变化，故原式极限不存在。（2）t（o,o）x-y:兰（1一*）x】_k★★★★(2)lim(l+xy)x+y1xy1xylim(l+^)云帀=lim[(l+xy)巧药xtOxtOy->0y->0证：方法一:1lim(l+xyY^'A->0y->0现考虑lim刖+y）若3）沿询趋于（0,0）,则上式弋护0,尸0从而lim(l+xy)x^y=eQ=IA—>0尸o若（X』）沿曲线yx-1x趋于(0,0),则limQXT()y->()(兀+y)limx->()Xy=

9、——x-1Xxx—1Xx+-从而x~lim(l+小)w=ex->()y->0故原式极限不存在。方法二：若取£=丄，九=—»贝qlim(l+xy)nn:M1x^y1