多元函数微分学习题解

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1、第8章多元函数微分学§8.1多元函数的基本概念内容概要区域定义邻域空间中点的邻域为平面上点的邻域为点集开集所有点都是内点的点集闭集开集连同边界构成的点集连通集任意两点都可用一条完全在点集中的折线连接的点集区域连通的点集。开区域、闭区域；有界区域、无界区域多元函数定义D为平面上非空点集，如果对D中任一点，按某种法则，都有唯一确定的实数与之对应，则称为D上的二元函数，记，，D为定义域。几何意义：为空间曲面，D为曲面在面上投影。可定义三元及以上函数。二重极限当时，恒有，则称。注：其中为任意方式。从而若以不同方式趋于时，无限靠近不同的常数，则二重极限不存在。多

2、元函数连续若，则函数在连续。初等函数在其定义区域内连续。闭区域上连续函数必有最大、最下值；有界；满足介值定理。课后习题全解习题8-1★1.设，求。解：★2.已知函数，试求。解：★★3.设，且当时，，求。解：将代入原式得：，故4.求下列函数的定义域：★（1）解：要使表达式有意义，必须所求定义域为★（2）解：要使表达式有意义，必须，★★（3）解：要使表达式有意义，必须★★★（4）解：要使表达式有意义，必须★★（5）解：要使表达式有意义，必须5.求下列极限：★（1）知识点：二重极限。思路：为函数定义域内的点，故极限值等于函数值。解：★★（2）知识点：二重极限

3、。思路：应用有理化方法去根号。解：★★★（3）解：原式，，★★（4）解：方法一：（应用二重极限定义，语言）当时恒有方法二：（夹逼定理），又方法三：（极坐标代换）令，则当时，★★（5）知识点：二重极限。思路：先作变量替换，然后对未定型应用洛必达法则及等价无穷小量替换。解：令，则时，，原式。★★★（6）解：6.证明下列极限不存在知识点：二重极限。思路：若沿不同曲线趋于时，极限值不同，则二重极限不存在。★★（1）证：取，则，易见极限会随值的变化而变化，故原式极限不存在。★★★★（2）证：方法一：现考虑，若沿轴趋于，则上式，从而若沿曲线趋于，则，从而故原式极限

4、不存在。方法二：若取，则若取，则故原式极限不存在。★★★（3）解：若沿轴趋于，则上式若沿曲线趋于，则上式故原式极限不存在。注：若沿曲线趋于，则从而。7.研究下列函数的连续性★（1）解：当时函数无定义，故函数的间断点集为★★★（2）解：函数间断点为，由又故由夹逼定理，故为可去间断点。★★★8.设，讨论在处是否连续？知识点：二元函数连续思路：若，则函数在连续。讨论处二重极限的存在性，若沿不同曲线趋于时，极限值不同，则二重极限不存在。解：若沿轴趋于，则若沿轴趋于，则故不存在，从而函数在处是不连续。§8.2偏导数内容概要偏导数偏导数定义性质也记为同理可定义几何

5、意义：的偏导数表示空间曲线在点处的切线关于轴的斜率偏导函数的求法：（1）多元函数对某自变量求偏导时，只需将其余自变量看为常数，按一元函数求导法则计算导数。（2）多元分段函数在分段点处偏导数要用偏导数定义来求。高阶偏导数若函数的偏导数在区域D内偏导数也存在，称它们为二阶偏导数。二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数。如果的二阶混合偏导数在区域D内连续，则在D内这两个偏导数相等。课后习题全解习题8-21.求下列函数的偏导数：★（1）；知识点：二元函数偏导数思路：函数对自变量x（y）求导时将另一自变量y（x）看为常量，按一元函数求导法则求导。解：；★★（2）；

6、解：，故★★（3）；解：；注：该题中应用一元函数商式求导法则及复合函数求导法则。★★（4）；解：；★（5）；解：★★★（6）；知识点：二元函数偏导数思路：函数对自变量x（y）求导时将另一自变量y（x）看为常量，按一元函数求导法则求导。在本题中对自变量x求偏导时，函数为x的幂函数；对自变量y求偏导时，函数为y的幂指函数。解：方法一方法二：（求时也可利用下边第5节的隐函数求导法则）在方程两边同时取自然对数得方程两边同时对自变量求偏导数，注意为的函数★★（7）；解：；★★（8）；知识点：多元函数偏导数思路：函数对自变量x（y或z）求导时将另两自变量y，z（x

7、，z或x，y）看为常量，按一元函数求导法则求导。解：；；★★2.设，求。解：法一：，；法二：，★★★3.设，求知识点：多元分段函数偏导数。思路：分段函数分段点处偏导数用定义求；非分段点处应用法则求导。解：当时，不存在。当时，★★4.曲线在点处的切线与轴正向所成的倾角是多少？知识点：多元函数偏导数的几何意义。思路：的偏导数表示空间曲线在点处的切线关于轴的斜率，。解：，，5.求下列函数的和：★（1）；解：；★★（2）；解：；；★★★（3）。解：；★★6.设，求及。解：，又，所以，★★★7.设，其中可导，证明。证：，左边；右边，所以左边=右边，题目得证。注：

8、本题中对抽象函数应用了一元复合函数求导法则。★★8.设，求及。解：，；§8.3全微分及其应用内