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1、微积分下册第一章多元函数微分学一、学习要求与内容提要（一）学习要求1.了解空间坐标系的有关概念，掌握空间两点之间的距离公式.了解平面区域，区域的边界，点的邻域，开区域与闭区域等概念.2.了解二元函数的概念。掌握二元函数的定义与表示法.3.了解二元函数的极限与连续性的概念.4.理解多元函数的偏导数与全微分的概念。熟练掌握偏导数与全微分的求法和复合函数的偏导数的求法.了解全微分存在的条件和全微分在近似汁算中的应用.5.掌握由一个方程确定的隐函数的偏导数的求法（例如由F（x,y,兀）=0确定的隐函数z=/U,y）,求其偏导数）.6.理解二元函数极值与条件极值的概念
2、.掌握二元函数极值存在的必要条件与充分条件，掌握求二元函数极值的方法；掌握利用拉格朗口乘数法求解简单应用题的条件极值.重点二元函数的概念，偏导数的概念与计算，全微分的概念，多元复合函数的求导公式与计算，隐函数的求导方法，多元函数极值的必要条件和充分条件，条件极值的概念与拉格朗日乘数法.难点二元函数的极限与连续、偏导数存在与全微分之间关系，多元复合函数的求导公式与计算，多元函数极值的充分条件，条件极值的概念与拉格朗口乘数法.（二）内容提要8.1空间解析儿何的简介空间直角坐标系，空间两点间的距离，空间曲面与方程。平面上的区域，区域的边界，点的邻域，开区域与闭区域
3、等概念。8.2多元函数的概念多元函数的定义，二元函数的定义域与几何意义，二元函数的极限与连续。8.3偏导数与全微分偏导数的定义与计算方法，全微分的定义与计算方法，全微分存在的必要条件和充分条件，全微分在近似计算中的应用。8.4多元复合函数微分法与隐函数微分法8.5高阶偏导数的定义与求法8.6元函数的极值与最值二元函数极值的定义，极值的必要条件与充分条件，条件极值的概念与拉格朗tl乘数法。多元函数最值的概念与求法.二、主要解题方法1.求二元函数定义域的方法例1求下列函数的定义域并画出定义域的图形.（1）Z=]n（y_兀2）+；解（1）要使函数有意义，需满足条件
4、[y—>0,99{9即x<<1—X**.[1-y-x2>0,（2）要使函数有意义，需满足条件因此定义域为与）匸1-F围成的部分,y2<4x00,<兀-@>0,y>0,定义域如图所示另外，求函数z=^X~y2的定义域时，也可把Z看成两个函数冇=^x-y2与Z2=]•的乘积，z,=』4x-y2的定义域是4-五4x-y2>0,即y2<4x,古雌义域屮盘°’因此函数Z=V~y2的定义域是Z,与Z2的定义域的公共部分,y2<4x0<)yx2小结多元函数的定义域的求法与一元函数的定义域的求法完全相同。即先考虑三种情况：分母不为零；偶次根式的被开方式
5、不小于零；要使对数函数，某些三角函数与反三角函数有意义.再建立不等式组，求出其公共部分就是多元函数的定义域.如果多元函数是儿个函数的代数和或儿个函数的乘积，其定义域就是这些函数定义域的公共部分.1.求多元函数的偏导数方法例2设z=—ln(2x-y),求半，丰.ydxayX解一令"二一、v=2x-y,原式可写成z=w2Invy由复合函数求导法则，得单二刍•啟+当单,即axduOxovoxdz_1u22x,、2x2—=2uInv12=——In(2x_y)—dxyvy2y2(2x-y)虫二虫也+玄也二2比1讣(—各)+・•(—1)dydudydvdyy-v—斗ln
6、(2x—)，)—)'3y2(2x-y)解二利用一元函数求导法则求偏导，可直接求出两个偏导数半，半.即uxoydz2x(…、2x2dz2x2._、x2—fln(2x-y)+,—=In(2x-y)；dx$2y^(2x-y)dyy3y2(2x-y)例3设z=x2f(—,siny[xy),求丰，爭xdxdy解此题为抽象函数，所以只能用多元函数求导法则.令弘=丄，V=siny[xy,贝0z=x2v),于是£=2xf(u.v)+X2[f(仏v)]x=2劝(仏v)+x2ox”dudvdudxdvdx=2xf(w,v)+x2給5(“严谓•許賦的伞丄卑5历•+】duxdv2(
7、xyy例4已f(x,y)=esinjc-ln(x34-xy2),求fx(1,0).解如果先求出偏导函数人(x,y)，再将x=[,)，=0代入求fx(1,0)比较麻烦，但是若3先把函数中的y固定在y=0,则有f(x,0)=3Inx.于是fx(.r,0)=—,fx(1,0)=3.x小结求二元复合函数偏导数，对于函数关系具体给出时，一般将一个变量看成常量,可直接对另一个变量求偏导，但求带有抽象两数符号的复合函数偏导数时，必须使用复合函数的求导公式•其关键在于正确识别复合函数的中间变量与自变量的关系.1.求隐函数的导数或偏导数的方法例5设e-vy-2z+e-z=0,
8、求尖，学.oxdy解一用公式法，设F(x,y,z)=
