多元函数微分学习题

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1、第八章　多元函数微分学习题§８．１　多元函数的一般概念１．设圆锥的高为，斜高为，试将圆锥的体积表示为的函数．【答案】，（）２．已知三角形的三条边长为，试将三角形的三个内角表示为的函数．【解答】设三内角所对的边长依次为，由三角学中的余弦定理，知　由此可知　，同理　　　，　　　　　，三者的定义域均为．３．求下列函数的定义域：　（１）；【解】要使函数有意义，须使对数、根式、分式都有意义方可，即，，三式同时成立．表示直线下侧的点构成的区域；表示圆内部及圆周上　的点所成区域；表示圆外的点（不包括圆周）的区

2、域，50三个区域的公共区域即为定义域，即，．　（２）；【答案】且．（或）（３）；　【答案】．（４）；　【答案】．　（５），；【答案】．４．求下列函数的极限：　（１）；【解】令，则．．　（２）；【解】令，则．．50　（３）；【解】．§８．２　偏微商１．求下列函数的偏微商：　（１）；　【解】．（２）；　【解】，．（３）；　【解】，．　（４）【解】，．　（５）；50　【解】，，．　（６）；　【解】，，２．设，求．【解】．３．设，求．　【解】，由对称性，知,故　，．４．求曲线在点处的切线与x轴的正向之间

3、所成的夹角．【解】易知，点在已知曲线上．由偏导数的几何意义，知所求夹角满足，故．５．求曲线在点处的切线与y轴的正向之间所成的夹角．50　【解】点在已知曲线上．由偏导数的几何意义，知所求夹角满足，所以　．６．求下列函数的二阶偏微商：（１）；　　【解】，，　　　　　，，．　（２）；　　【解】，，（注：），，．　（３）；　　【解】，，，，50．　（４）；【解】，，．由的对称性，知，，，．７．设，求、．　【解】，，；，，．８．设，验证：　（１）；【解】，，50由对称性，知　，，故　　　．（２）；　【解】

4、，，由对称性，知　，，所以　．９．设，验证．　【解】对两边取对数，得　　　　．　　　　两边对x求导，得　，（）50　　　　上式再对x求导，得　，　　　　　　　　　　　　　　　　　　（＊）　　　　两边对t求导，有　　　　；（＊＊）比较（＊）与（＊＊），得　．§８．３　全微分１．求下列函数的全微分：　（１）；【解】．　（２）；【解】，　　．　（３）；【解】使用一阶微分形式的不变性．50　．　（４）；【解】，，　　　．　（５）；【解】．　（６）；【解】．　（７）；【解】，，，　　　．　（８）；【解】　

5、　　　　　　　．２．写出二元函数当时的全微分．50【解】　　　．３．求函数当时的全增量和全微分．　【解】函数当时的全增量　；全微分　　　　．４．求的近似值．（已知）．　【解】令　，则　．由　取　，代入，得．５．当圆柱体的半径由200毫米增加到200.5毫米，高由1000毫米减少到995毫米时，求体积变化的近似值．【解】圆柱体的体积公式为　，．将代入，得体积变化的近似值为，50即圆柱体体积基本上没有变化（相对变化不足十万分之二）．６．在物理学中，用公式计算重力加速度．由于测量摆长和周期均有微小误差

6、，因此必然给算出的重力加速度带来误差．设已知厘米，厘米，秒，秒，求重力加速度的绝对误差与相对误差．　【解】，，，　　　当时，，，，　　　所以此时g的绝对误差（限）为　　　　（注：可以使用公式计算）　　相对误差（限）为　．§８．４　复合函数的偏微商１．求下列复合函数的全微商或偏微商：　（１），其中，求；【解】．（２），其中，求，；【解】50；　　　　．（３），其中，求，；【解】　　　　　；　　．（４）其中，求，；【解】；．（５）其中，求，,；【解】，由变量的对称性，知　,　；　（６），其中，求．5

7、0　【解】＋．注：较简单的解法是直接把代入原来函数直接求导．２．求由下列方程所确定的x的函数y的微商：（１）；【解】令，则有　　　　　　故　　．（２）；【解】，则，．　（３）．50【解】　，　　　，，　　　．３．求有下列方程所确定的x，y的函数的偏微商，：　（１）；　【解】令　，则有，，，故　，．　（２）；【解】，，，，，．（３）；【解】，则　　　，，，50　　　，．（４）．　【解】　　　　，，，，．４．求由方程所确定的xy的函数z的全微分．　【解１】令，则，，，，，故　．【解２】利用一阶微分形

8、式的不变性，对方程两边求微分，有，解得　．５．求出当时，由方程所确定的函数的近似值．　【解】由于，50而令　，则有，，，，，把代入方程，解得　，此时，，，，所以　　　　　　　．６．设，验证＋＋．【解】令，则有．从而　＝，＝，＝，故　＋＋＝．７．设，验证＝．　【解】令　，则，，，，50，．８．设，而，验证＝．　【解】，，　　　　，　，所以　　　　　　　＝．得证．§８．５　几何方面的应用１．求下列各曲线在指定点处的切线方程与法平面方程：　　　（１）．【解】，　　　，50　　在处，，，即该点的坐标为，