多元函数微分学题解

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1、多元函数微分学禹春福2011.7.15P56--例1设．求，，，．解,,P56--例1设，而，，求．解：；或为一元函数，……P57--例2设，而，，求，．解：P57--例3设，而，求．解：P57--例4设，而，，求．解：14多元函数微分学禹春福2011.7.15P57--例5设，而，求，．解：，P57--练习1设函数，则。（2011年）解：，故P58--例6设，其中有二阶导数，求，，．解：令，两个自变量，一个中间变量，则P58--练习2设，其中有二阶导数，求，．（2006）解：；同理可求.P58--例7设，其中有二阶连续偏导数，求．解：，（

2、因为有二阶连续偏导数，所以）14多元函数微分学禹春福2011.7.15P58--练习3设，其中有二阶连续偏导数，有二阶导数，求．（2000）解:根据复合函数求偏导公式,P58--练习4设函数，其中函数具有二阶连续偏导数，函数可导且在处取得极值，求。（2011年）解：由题意。因为，，所以P59--例8设，其中有二阶连续偏导数，而，求．解：P59--例9已知满足，且，，求．14多元函数微分学禹春福2011.7.15解：两边对积分得，由得，所以，上式两边对积分得，由得则有P59--例1设是由方程确定的隐含数，则．（2009．Ⅱ）解：两边对求导得（

3、1）再两边对求导得（2）原式中令可得，代入（1）得，将，，代入（2）中即得P59--例2设，求，，，．解：两边对求导得，整理得两边对求导得得（*）……（将（*）式代入）14多元函数微分学禹春福2011.7.15另法：用公式，其中P60--练习1设函数由方程确定，其中为可微函数，且，则．（2010，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ）填：解：；则P60--例3设，其中可导，求．解：两边对求导得P60--例4设，其中函数可微分,而，求．解：，因为，则P60--例5设，而方程确定了，其中可导,且,求．解：14多元函数微分学禹春福2011.7.15而，将代入，有P61--

4、例6设求，．解：，方程组同对求导，得P61--例7设求，，，．解：，两边同时对求偏导得；同理可得P61--例1设，求，．（1991，Ⅳ—Ⅴ）解：，P61--练习设函数，则。（2011年）14多元函数微分学禹春福2011.7.15解：，，，故P62--例2设确定了，求，．解：，同理；P62--例3设，求．解：P62--练习设，其中具有二阶连续偏导数，求，．（2009．Ⅲ）解：P62--例4已知的全微分为，求．14多元函数微分学禹春福2011.7.15解：由题设有（1），（2）（1）式两边对积分得，与（2）式比较可得，则P63--例1求二元函数

5、的极值．（2009．Ⅰ，Ⅲ）解：令，得惟一驻点．，由于所以，且．因此是的极值点，又，所以是的极小值点，极小值为．P63--练习设函数具有二阶连续导数，且，，则函数在点处取得极小值的一个充分条件是（A），（B），（C），（D），（2011年）解：，在点处，，当且时，即，时，14多元函数微分学禹春福2011.7.15在点处取得极小值。故选(A)P63--例2设确定了，求的极值．解：分别对，求导得（*）解得驻点为（*）中（1）两边再对，对求导，（2）两边再2对求导，得⒈在处，，则不是极值点.⒉在处，，则是极值点.因为，所以为极大值点，极大值为P6

6、4--例1求在条件下的极值．解：作另法：化为无条件极值，为驻点，，则为极大值点，极大值为14多元函数微分学禹春福2011.7.15P64--例2在椭圆上求一点，使其到直线的距离最短．解：为椭圆上任一点，则到直线的距离，约束条件考虑在条件下的极值问题作驻点，，则事实上可设……等效P64--练习已知平面曲线，其中可微分,且．是曲线外一个固定点．试证：如果点在曲线上且是到的最近或最远的点，则．解：在上任取一点，则，约束条件考虑在条件下的极值问题作，则，取极值为驻点，故有14多元函数微分学禹春福2011.7.15P65--例3求点到曲面的最短距离．

7、解：设是曲面上的任意一点，则距离的平方为，作，则点到曲面的最短距离为P65--例4试在圆锥面与平面所围成的立体内求出底面平行于面且体积为最大的长方体．解：设长方体与锥面在第一封限内的交点为则长方体的体积为，约束条件作驻点，P65--例5过椭圆上任一点作切线，试求各切线与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值．解：设为椭圆上任一点，求得切线斜率为,则切线方程为,令，或则切线与轴，轴的截距为14多元函数微分学禹春福2011.7.15；，三角形面积为①约束条件为②，②代入①有考虑在条件下②的极值.作，令，得驻点，最小面积（事实上，设或均可）P66--

8、例1求在闭区域：上的最大值和最小值．解：1.D的内部，为驻点，且2.D的边界，，此时，，则有比较上述函数值知，函数在上的最大值和最小值分别为．另法：14多元函数微分学禹春福201