多元函数微分学及其应用习题解答

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1、习题8-11.求下列函数的定义域：(1)；解：(2)；解：(3)；解：(4)。解：2.求下列多元函数的极限:：(1)；解：(2)；解：令t=xy，28(3)；解：(4)；解：(5)。解：，3.证明下列极限不存在：(1)；证明：。(2)。证明：284.讨论下列函数在点处的连续性：(1)；解：(2)；解：(3)。解：。。习题8-21.求下列函数的一阶偏导数：(1)28解：(2)；解：(3)；解：(4)；解：，(5)；解：(6)；解：(7)解：(8)。28解：2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数：(1),点(0,1)；解：(2)

2、,点(1,0)。解：3.求曲线在点(2,4,5)处的切线对于轴的倾斜角。解：4.设证明在点处连续且偏导数存在。28解：5.求下列函数所有的二阶偏导数：(1)；解：(2)；解：(3)解：6.求下列函数指定的高阶偏导数：28(1)；解：(2)。解：7.证明满足方程。解：由对称性，有：习题8-31.求下列函数在指定点的全微分：(1)；解：28(2)。解：2.求下列函数的全微分：(1)；解：(2)；解：(3)；解：(4)。解：3.证明函数28在点(0,0)处可微，但偏导数在(0,0)处不连续。证明：当时，当点沿直线趋于时，不存在，

3、所以在不连续；同理可证在不连续。故在可微，且*4.利用全微分计算下列函数的近似值：(1)；解：28(2)。解：习题8-41.求下列函数的导数或偏导数：(1)；解：=(2)；解：(3)；解：(4)。解：282.求下列函数的一阶偏导数（其中f为可微函数）：(1)；解：(2)；解：(3)；解：(4)；解：3.设。解：4.设，而为可微函数，证明：。证明：285.设，其中为可导函数，证明：。证明：6.设，其中有二阶导数，求。解：7.设有二阶连续偏导数，求下列函数的二阶偏导数：(1)；解：(2)。解：28习题8-51.求下列方程所确定

4、的隐函数的导数或偏导数：(1),求；解：(2)，求；解：(3),求；28解：(4)，求。解：2.设都是由方程所确定的具有连续偏导数的函数，证明。证明：3.设函数由方程所确定，证明。证明：4.求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：(1)求；28解：(2)求；解：(3)其中有一阶连续偏导数，求。解：5.设，，其中有连续一阶偏导数，证明。证明：习题8-61.求函数在点(1,2)处沿从点(1,2)到点的方向导数。解：282.求下列函数在指定点沿指定方向的方向导数：(1)；解：(2)；解：(3)。解：3.求下列函数在指定点的梯度

5、：(1)；解：(2)。解：4.求函数在点处的最大方向导数。解：28习题8-71．求下列曲线在指定点处的切线与法平面方程：(1)；解：(2)；解：(3)。解：2.求曲线上的点，使曲线在该点的切线与平面平行。解：283.求下列曲面在指定点处的切平面和法线方程：(1)；解：(2)；解：(3)。解：4.求曲面平行于平面的切平面方程。解：习题8-81.求下列函数的极值：28(1)；解：(2)；解：(3)；解：(4)。解：稳定点不存在所以没有极值2.求下列函数在有界闭区域上的最大值和最小值：(1)；解：28(2)；解：(3)。解：3.

6、用拉格朗日乘数法求下列函数在附加条件下的最大值和最小值：(1)；解：28(2)；解：(3)；解：(4)。解：最大值，最小值。4.求表面积为12m2的无盖长方形水箱的最大容积。28解：5.平面与抛物面的交线是一椭圆，求原点到该椭圆的最长与最短距离。解：习题8-91.求函数在点处的泰勒公式。解：2.求函数的三阶麦克劳林公式。解：28第八章总练习题1.在“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分又不必要”四者中选择一个正确的填入下列空格中：(1)在点可微是在该点连续的（充分非必要）条件；(2)在点的偏导数存在是在该点可

7、微分的（必要非充分）条件；(3)在点连续是在该点的偏导数存在的（既不充分又不必要）条件；(4)在点连续且偏导数存在是在该点可微分的（必要非充分）条件；(5)的偏导数在点存在且连续是在该点可微分的（_充分非必要）条件；(6)的两个二阶混合偏导数及在区域内连续是这两个混合偏导数在内相等的（充分非必要）条件。2.证明极限不存在。证明：1.证明：若在全平面连续，且存在，则是有界函数。28证明：，故对给定的存在当时，有；又若在全平面连续，故在闭区间连续有界，即存在使得。令，显然，对一切，有，即是有界函数。1.设求。解：5.求下列函数

8、的一阶及二阶偏导数：(1)；解：,,,,(2)。解：,,,,6．设证明28在点(0,0)处连续且偏导数存在，但不可微分。证明：7.设在点(1,1)处可微，且，，求。解：8．设有连续的一阶偏导数，又函数分别由和确定，求。解：由，28由，，即9.求由方程组所确定的隐函数在点(1,1)处的偏导数。解：本题三个