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《【创新设计-课堂讲义】高中数学苏教版选修2-1课堂讲义：3章313~314《空间向量基本》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、3・1.3空间向量基本定理3.1.4空间向量的坐标表示［学习目标］1.了解空间向量基本定理及其意义2掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量线性运算的处标运算.戸预习导学全挑战白我.点点落实［知识链接］1.空间的基底惟一吗？答：不惟一.只要三个向量不共面，则这三个向量皆可以组成空间的一个基底.2.设向量a=(xp刃，zj)与向量方=(X2，歹2，Z2)共线，若XM2Z2HO,则满足的条件是什么？答：若妙2Z2H0,则a//b的充要条件是严=¥=◎.x2V2厶2［预习导引］1.空间向量基本定理⑴定理如果三个向量内不共面，那么对空间
2、任一向量卩，存在惟一的有序实数组｛X,〃Z｝,使p=xe+ye2+ze3.(2)基底与基向量如果三个向量引，g◎不共面，那么空间的每一个向量都可由向量即e2,◎线性表示.我们把｛引，5称为空间的一个基底,◎叫做基向量.空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.(3)正交基底与单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是两两耳相垂直,那么这个基底叫做正交基底，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时,称这个基底为单位正交基底，通常用｛i,j，斛表示.⑷推论设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任意一点P,都存在惟一的有序实数组(x,y
3、,z),使得OP=xOA+yOB+zOC.2.空间向量的坐标表示空间直角坐标系Oxyz中，i,j,R分别为x,yfz轴方向上的单位向量,对于空间任一个向量°,若有a=xi+yj+zk,则有序实数组(x,八刃叫向量a在空间直角坐标系中的坐标.特别地，若A（x,y>z）,贝lj向量04的坐标为（x,卩，z）.1.坐标运算设a=^2，如），b=（b、,〃3），贝lja+“=（@丄十如？©+“2，。3+加）；a—b=（@丄一如，©—如，^3—加）;/1。=（久671，久Q?,屁^3）（AUR）•（i〃b（aH0）oh=Xciy,方2=^a_2，b
4、、=肋3（AWR）.产课堂讲义/盍点难点，个个击破要点一空间向量的基底例1若｛a,b,c｝是空间的一个基底•试判断｛a+btb+c,c+a｝能否作为该空间的一个基底？解假设a+b,方+c,c+a共面，则存在实数久、“使得^+方=久（方+c）+“（c+a）,・°・a+〃=力b+/na+（z+“）c.V｛a,b,c｝为基底・...a,b,c不共面.1=“，・•・<1=A,此方程组无解..0=久+“，・°・d+方，b+c,c+a不共面.A｛a+b,b+c,c+a｝可以作为空间的一个基底.规律方法空间向量有无数个基底.判断给岀的某一向量组中的三个向
5、量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断.跟踪演练1以下四个命题中正确的是.①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；②若｛a,b,c｝为空间的一个基底，则a,b,c全不是零向量；③如果向量a,〃与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与〃共线；④任何三个不共线的向量都可构成空I'可的一个基底.答案②③解析因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故①不正确；②正确；由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，故③正确；空间向量基底是由三
6、个不共面的向量组成的，故④不正确.要点二用基底表示向量ECB例2如图，四棱锥POABC的底面为一矩形，PO丄平面OABC,设=a,OC=b,OP=c,E,F分别是PC和03的中点，试用a,b,c表示BF,BE,AE.EF.解连结80,则亦=新=^(Bd+OP)=^(c-b-a)=—苏―—*■—►—►1—>BE=BC+CE=-a+^CP=~a+^(CO+OP)2b+2c'AE=AP+PE=AO+OP+^Pd+OC)——a+c+*(—c+b)=—a+为+#c.EF=*CB=*OA=2a-规律方法(1)空间中的任一向量均可用一组不共面的向量来表示
7、，只要基底选定，这一向量用基底表达的形式是惟一的：(2)用基底来表示空间中的向量是向量解决数学问题的关键，解题时注意三角形法则或平行四边形法则的应用.跟踪演练2如图所示，空间四边形OABC中，G、H分别是△MC、△解TH为△O3C的重心，D为BC的中点,OBC的重心，设OA=a,OB=b.OC=c.试用向量a,b,c表示向量dk：.OD=^(OB+OC),OH=^db9.->21->->1从而OH=^X2(OB+OC)=q(b+c)•OA―►―►—►―►2~►—►—►―►又OG=OA+AG=OA+-^ADyAD=OD~OA93X2=^(OA
8、+OB+OC)=^(a+b+c).•：GH=OH—OG,/.GH=^(b+c)—^(a+b+c)=—^a.要点三空间向量的坐标表示例3己知丹垂直于正方形MCQ所在的平面，M、N分
