2018版高中数学苏教版选修2-1学案:313+空间向量基本定理-314+空间向量的坐标表示1

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1、3・1.3空间向量基本定理3.1.4空间向量的坐标表示[学习目标]1.了解空间向量基本定理及其意义2掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量线性运算的坐标运算.戸知识梳理自主学习知识点一空间向量基本定理⑴定理如果三个向量6,J旳不共面,那么对空间任一向量P,存在惟一的有序实数组(x,pz),使p=xe}+ye2+ze3.(2)基底与基向量如果三个向量6,s,勺不共面,那么空间的每一个向量都可由向量引,02,勺线性表示.我们把{引,02,S'称为空I'可的一个基底,引,02,S叫做基向量.空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.(3)正交基底与单

2、位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直,那么这个基底叫做正交基底,当一个正交基底的三个基向量都是单位向暈时,称这个基底为单位正交基底,通常用{i,刖表示.⑷推论设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任意一点都存在惟一的有序实数组(x,y,Z),使得帀=xR+yOB+zdc.知识点二空间向量的坐标表示空间直角坐标系Oxyz中,i,j,比分别为x,y,z轴方向上的单位向量,对于空间任意一个向量a,若有a=xi+yj+zkf贝9有序实数组(x,y,z)叫向暈a在空间直角坐标系中的坐标.特别地,若/(x,yfz),则向量O力的坐标为(x,y,z).知识点三

3、坐标运算设4=(%,^3),b=(b、,b?,by)9贝g。十〃=(@丄51"〃丄,©+如,①+①);a—b—(q丄一byQ?—方空^3一〃3);AU=(久Q1,久Q?,26?3)(久WR)■a〃b(aH0)ob=^,如=肋?,by=Act2(久GR)•思考(1)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算表达形式上有什么不同?(2)已知a=a,如。3),b=(b“加,加),a//b9且b]h2b^0,类比平面向量平行的坐标表示,可得到什么结论?答案(1)空间向量的坐标运算多3个竖坐标.⑵a//bo*戸题型探究重点突破题型一空间向量的基底例1已知{©,02,内}是空

4、I'可的一个基底,且0/4=引+2£2—03,0B=~3e+^2+2^3,0C=引+——内,试判断{菇,6b,荒}能否作为空间的一个基底.解假设鬲,丽,冼共面.则存在实几“使得鬲=XOB+jliOC,ej+2^2—03=久(—3引+纟2+203)+“(01+©—03)=(—3久+〃)€]+(人+“)02+(2久—“)03,*•*C,02,03不共面,—3久+“=1,・•・<人+“=2,此方程组无解,.2人_"=_]:.0A,0B,荒不共面,・・・{勿,0B,茨?}可以作为空间的一个基底.反思与感悟空间向量有无数个基底.判断给出的某一向量组门的三个向量能否作为基

5、底,关键是要判断它们是否共面,如果从正面难以入手,常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断.跟踪训练1己知点0,A,B,C为空间不共面的四点,且向量a=OA+OB+OC,向量方=0A+0B~0C,则与a,D不能构成空间基底的向量是.(填序号)®0A②SB③荒④鬲或為答案③解析0C=^a~^b且a,〃不共线,・・・a,b,况、共面,・••疋与a,〃不能构成一组空间基底.题型二用基底表示向量例2如图,四棱锥POABC的底面为一矩形,P0丄平面OABC,设鬲=a,OC=b,OP=c,E,F分别是PC和PB的中点,试用a,b,c表示弗,BE,AE.EF.解连结BO

6、,则篩=+弟1->—1=2(B0+OP)=2(e~b~d)—►—►―A1—A1—►—ABE=BC+CE=-a+^CP=-a^CO+OP)—►―►―►—►―►1―►—►AE=AP+PE=AO+OP+^PO+OC)EF=*CB=go4=如反思与感悟(1)空间中的任一向量均可用一组不共面的向量来表示,只要基底选定,这一向量用基底表达的形式是惟一的;(2)用基底来表示空间中的向量是向量解决数学问题的关键,解题时注意三角形法则或平行四边形法则的应用.跟踪训练2如图所示,己知平行六面体4BCD-ABCQ,设越=a,AD=b.AAx=c,P是G4

7、的屮点,M是CDi的中点

8、.用基底{a,b,c}表示以下向量:(1)乔;(2)AM.解如图,在平行六面体ABCD—4bCD中连结/C,AD]f-►1—►―►(])AP=^AC+AAi)1―►—►—►=2(AB+AD+AA})=扣+方+c).~A1—►―►(2)AM=^AC+ADx)=^AB+2AD+AA{)=^a+b+^c・题型三空间向量的坐标表示例3已知刃垂直于正方形ABCD所在的平而,M.N分别是/〃、PC的小点,并HPA=ad=9建立适当坐标系,求向量冰啲坐标.则M(0,*,0),解以AD,AB./P所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示,反思与感悟建系时要充分利用图形的线面垂

9、直关系,选

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