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《2018版高中数学苏教版选修2-1学案：313+空间向量基本定理-314+空间向量的坐标表示1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、3・1.3空间向量基本定理3.1.4空间向量的坐标表示［学习目标］1.了解空间向量基本定理及其意义2掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量线性运算的坐标运算.戸知识梳理自主学习知识点一空间向量基本定理⑴定理如果三个向量6,J旳不共面，那么对空间任一向量P，存在惟一的有序实数组(x,pz),使p=xe｝+ye2+ze3.(2)基底与基向量如果三个向量6,s，勺不共面，那么空间的每一个向量都可由向量引，02,勺线性表示.我们把｛引，02,S'称为空I'可的一个基底,引，02,S叫做基向量.空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.(3)正交基底与单
2、位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直,那么这个基底叫做正交基底，当一个正交基底的三个基向量都是单位向暈时,称这个基底为单位正交基底，通常用｛i,刖表示.⑷推论设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任意一点都存在惟一的有序实数组(x,y,Z),使得帀=xR+yOB+zdc.知识点二空间向量的坐标表示空间直角坐标系Oxyz中，i,j,比分别为x,y,z轴方向上的单位向量,对于空间任意一个向量a，若有a=xi+yj+zkf贝9有序实数组(x,y,z)叫向暈a在空间直角坐标系中的坐标.特别地，若/(x,yfz),则向量O力的坐标为(x,y,z).知识点三
3、坐标运算设4=(%,^3)，b=(b、,b?,by)9贝g。十〃=(@丄51"〃丄，©+如，①+①)；a—b—(q丄一byQ?—方空^3一〃3)；AU=(久Q1,久Q?,26?3)(久WR)■a〃b(aH0)ob=^，如=肋?,by=Act2(久GR)•思考(1)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算表达形式上有什么不同？（2）已知a=a，如。3），b=（b“加，加），a//b9且b]h2b^0,类比平面向量平行的坐标表示，可得到什么结论？答案（1）空间向量的坐标运算多3个竖坐标.⑵a//bo*戸题型探究重点突破题型一空间向量的基底例1已知｛©,02，内｝是空
4、I'可的一个基底，且0/4=引+2£2—03，0B=~3e+^2+2^3,0C=引+——内，试判断｛菇，6b,荒｝能否作为空间的一个基底.解假设鬲，丽，冼共面.则存在实几“使得鬲=XOB+jliOC,ej+2^2—03=久（—3引+纟2+203）+“（01+©—03）=（—3久+〃）€]+（人+“）02+（2久—“）03，*•*C,02，03不共面,—3久+“=1,・•・<人+“=2,此方程组无解，.2人_"=_]：.0A,0B,荒不共面，・・・｛勿，0B,茨?｝可以作为空间的一个基底.反思与感悟空间向量有无数个基底.判断给出的某一向量组门的三个向量能否作为基
5、底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断.跟踪训练1己知点0,A,B,C为空间不共面的四点，且向量a=OA+OB+OC,向量方=0A+0B~0C,则与a,D不能构成空间基底的向量是.（填序号）®0A②SB③荒④鬲或為答案③解析0C=^a~^b且a,〃不共线，・・・a,b,况、共面，・••疋与a,〃不能构成一组空间基底.题型二用基底表示向量例2如图，四棱锥POABC的底面为一矩形，P0丄平面OABC,设鬲=a,OC=b,OP=c,E,F分别是PC和PB的中点,试用a,b,c表示弗,BE,AE.EF.解连结BO
6、,则篩=+弟1->—1=2(B0+OP)=2(e~b~d)—►—►―A1—A1—►—ABE=BC+CE=-a+^CP=-a^CO+OP)—►―►―►—►―►1―►—►AE=AP+PE=AO+OP+^PO+OC)EF=*CB=go4=如反思与感悟(1)空间中的任一向量均可用一组不共面的向量来表示，只要基底选定，这一向量用基底表达的形式是惟一的；(2)用基底来表示空间中的向量是向量解决数学问题的关键，解题时注意三角形法则或平行四边形法则的应用.跟踪训练2如图所示，己知平行六面体4BCD-ABCQ,设越=a,AD=b.AAx=c,P是G4
7、的屮点，M是CDi的中点
8、.用基底｛a,b,c｝表示以下向量:(1)乔；(2)AM.解如图，在平行六面体ABCD—4bCD中连结/C,AD]f-►1—►―►(])AP=^AC+AAi)1―►—►—►=2(AB+AD+AA｝)=扣+方+c).~A1—►―►(2)AM=^AC+ADx)=^AB+2AD+AA｛)=^a+b+^c・题型三空间向量的坐标表示例3已知刃垂直于正方形ABCD所在的平而，M.N分别是/〃、PC的小点，并HPA=ad=9建立适当坐标系，求向量冰啲坐标.则M(0,*,0),解以AD,AB./P所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示,反思与感悟建系时要充分利用图形的线面垂
9、直关系，选
