2018版高中数学苏教版选修2-1学案：3.1.3+空间向量基本定理-3.1.4+空间向量的坐标表示

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1、3.1.3　空间向量基本定理3.1.4　空间向量的坐标表示学习目标　1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解正交基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标.知识点一　空间向量基本定理思考1　平面向量基本定理的内容是什么？思考2　只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底吗？梳理　空间向量基本定理(1)定理内容：①条件：三个向量e1，e2，e3________.②结论：对空间中任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使________________.(2

2、)基底：定义在空间向量基本定理中，e1，e2，e3是空间____________的三个向量，则把{e1，e2，e3}称为空间的一个________，________叫做基向量正交基底与单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是两两互相________，那么这个基底叫做正交基底.特别地，当一个正交基底的三个基向量都是________________时，称这个基底为单位正交基底，通常用________表示(3)推论：①条件：O，A，B，C是____________的四点.②结论：对空间中任意一点P，都存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得＝____

3、____________.知识点二　空间向量的坐标表示思考1　对于空间任意两个向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若a与b共线，则一定有＝＝吗？思考2　若向量＝(x1，y1，z1)，则点B的坐标一定为(x1，y1，z1)吗？梳理　(1)空间向量的坐标表示①向量a的坐标：在空间直角坐标系O－xyz中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的________向量i，j，k作为基向量，对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在________的有序实数组________，使________，有序实数组________叫做向量a在空

4、间直角坐标系O－xyz中的坐标，记作________.②向量的坐标：对于空间任一点A(x，y，z)，向量是确定的，即＝(x，y，z).(2)空间中有向线段的坐标表示设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，①坐标表示：＝－＝________________.②语言叙述：空间向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的________________.(3)空间向量的加减法和数乘的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，试根据下面的提示填空.运算表示方法加法a＋b＝________________减法a－b＝________

5、________数乘λa＝________________(λ∈R)(4)空间向量平行的坐标表示若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，且a≠0，则a∥b⇔b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3(λ∈R).类型一　空间向量基本定理及应用命题角度1　空间基底的概念例1　已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底.反思与感悟　基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构

6、成基底.(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底.②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底.跟踪训练1　以下四个命题中正确的是________.①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线；④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底.命题角度2　空间向量基本定理的应用

7、例2　在空间四边形OABC中，点D是边BC的中点，点G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量和.引申探究若将本例中的“G是△ABC的重心”改为“G是AD的中点”，其他条件不变，应如何表示，？　反思与感悟　用空间向量基本定理时，选择合适的基底是解题的关键.跟踪训练2　如图所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量.(1)；(2)；(3)；(4).类型二　空

8、间向量的坐标表示例3　棱长为1的正方体ABCD－A′B′C′D′中，E、F、G分别为棱DD′、D′C′、BC的中点，以{，，}为基底，求