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《【创新设计-课堂讲义】高中数学苏教版选修2-1课堂讲义：3章323《空间的角的计算》》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、3・2.3空间的角的计算［学习目标］1.能用向量方法解决线线、线血、面血的夹角的计算问题2体会向量方法在研究几何问题中的作用.戸预习导学/挑战白我.点点落实［知识链接］1.怎样求两条异面直线所成的角？答：(1)平移法：即通过平移其中一条(也可两条同时平移)，使它们转化为两条相交直线，然后通过解三角形获解.(2)向量法：设“、〃分别为异面直线厶、仏上的方向向量，&为异面直线所成的角，则异而直线所成角公式cos0=
2、cos〈4,b)1=肯%2.如何用平面的法向量表示二面角？答：设心、”2是二面角必的两个面弘0的法向量，
3、则向量心与向量血的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小.［预习导引］1.两条异面直线所成的角(1)定义：设G、b是两条异面直线,过空间任一点O作直线///a,br〃b,则R与，所夹的锐角或直角叫做d与b所成的角.(2)范圉：两条异面直线所成角0的取值范围是OGW申.(3)向量求法：设直线a,b的方向向量为,b,其夹角为卩，则°,方所成角的余弦值为cos0=
4、cos(p=QIMW2.直线与平面所成的角(1)定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的射影所成的角.7T(2)范围：直线和平面所成角0的取值
5、范围是(3)向量求法：设直线/的方向向量为”，平面的法向量为”，直线与平面所成的角为已“与〃的夹角为©则有sin&=
6、cos(p=
7、«
8、-
9、«
10、或cos0=sin(p.3.二面角(1)二面角的取值范围:［0,71］.(1)二面角的向量求法：①若4B,仞分别是二面角a/0的两个面内与棱/垂直的异面直线(垂足分别为C),如图,则二面角的大小就是向量乔与的夹角.②设///>n2是二面角刃0的两个面a,〃的法向量，则向量如与向量血的夹角(或其补角)就是二面角的平血角的大小.尹课堂讲义全重点难点，个个击破要点一求两条异面直
11、线所成的角5例1如图所示，三棱柱OABOxAxB｛中，平面OBBQ、丄平面OAB,ZOQB=60°,ZAOB=90°f且OB=OO=2,04=晶求异面直线力力与力0
12、所成角的余弦值的大小.解建立如图所示的空间直角坐标系，则0(0,0,0),01(0,1,迈)，4心,0,0),AK0,1,y[3)f5(0,2,0),1,—a/3),O]A=(y[3,—1,—筋).
13、cos{AB,OA}
14、1(—萌，1，—迈)・(筋，—1，—筋)
15、1lA^IWI⑴荀了・•・异面直线力〃与AO}所成角的余弦值为*规律方法建立空间直角
16、坐标系要充分利用题目中的垂直关系；利用向量法求两异面直线所成角计算思路简便，要注意角的范围.跟踪演练1正方体ABCD4BCD中，E、F分别是MQ、川。的中点，求异面直线/E与CF所成角的余眩值.解不妨设正方体棱长为2,分别取DA.DC、DD所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，贝U/(2,0,0)、C(0,2,0)、E(l,0,2)、F(1丄2),则庞=(一1,0,2),CF=(1,-1,2)・・.匠
17、=托，
18、前=&.庞冷=一1+0+4=3.又^£-CF=
19、AE'
20、
21、CF
22、cos尿,CF)
23、=V30cos〈旋,CF）,Acos〈庞，CF}=穹，•：异面直线ME与CF所成角的余弦值为穹.要点二求直线和平面所成的角例2己知正三棱柱4BSBC的底面边长为a,侧棱长为迈a,M为力血的中点，求30与平面AMCX所成角的正弦值.解建立如图所示的空间直角坐标系，则M（0,0,0）,M（0,务竝z）,G（-鴉,号,迈a）,B（0,故处1=（—号，迈a）,AM=（09号，y[2a）.设平面AMC的法向量为n=（x,y,z）./Ci•"=0,、力M〃=0.刼+迈qz=0,令y=2f则z=—爭，x=0./.n=（0,2,
24、又荒1=（_爭7,—号，迈a）,BCm/.cos（BCi，n）BC{\萌必a_2^69•设BG与平面AMC}所成的角为仇—?17则sin0=
25、cos〈BC,巾〉
26、=9•规律方法借助于向量求线面角关键在于确定直线的方向向量和平面的法向量，一定要注意向量夹角与线面角的区别和联系.跟踪演练2如图所示，已知直角梯形ABCD,其中AB=BC=2AD,AV丄ABCD.AD//BC,力3丄BC,且AS=AB.求直线SC与底面ABCD的夹角&的余弦值.解由题设条件知，以点/为坐标原点，分别以AD、AB、AS所在直线为x轴
27、、夕轴、z轴，建立空间直角坐标系(如图所示).设AB=,贝幅(0,0,0),B(0,l,0),C(l,l,0),皓0,0),5(0,0,1)・・••巫=(0,0,1),CS=(~,—1,1).显然石是底面的法向量，它与已知向量囱的夹角0=号一",故有sin0=cos0=AS\CS[0,刽.・：cos0=p1-sin2&=誓.要点三求二面角例3在正方
