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《2018版高中数学苏教版选修2-1学案：323+空间的角的计算》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、323空间的角的计算【学习目标】1.理解直线与平血所成角、二面角的概念2掌握向量法解决空间角的计算问题.3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲.IF问题导学知识点一空间角的计算（向量法）思考1设Q，方分别是空间两条直线人，的方向向量，则厶与的夹角大小一定为〈4,b）吗？思考2若二面角u-1-p的两个半平面的法向量分别为如，心，则二面角的平面角与两法向量的夹角S],血〉一定相等吗？梳理空间三种角的向量求法角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为0,它们的方向向量为a,by贝'Jcos0==.直线与平面所成的角设直线/与平面a所成的角为仇/的方向
2、向量为a,平面a的法向量为农，则sin0=•二面角设二面角a-1-p为仇平面a,“的法向量分别为％,血，则
3、cos0-一
4、；詁.知识点二向量法求线面角、二面角的原理1•向量法求直线与平面所成角的原理条件直线/（方向向量为0）与平面必法向量为叭所成的角为〃图形1/4”力加。/力血/关系〈€,n)e[0,号],0—2—〈纟，n)71〈◎n）丘匠，兀］,0=〈0,n}—申计算sin0=
5、cos仏n)
6、2.向量法求二面角的原理条件平面U,0的法向量分别为〃1，血，G,0所构成的二面角的大小为0,（W
7、9〃2〉=（卩图形n2洱n2如p/关系0=(p8=71—(P计算
8、COS0=COS(pCOS〃=—COS(p题型探究类型一求两条异面直线所成的角例1如图，在三棱柱OAB-O}A}B}平面OBBQ」平而CMB,ZOQB=60。，ZAOB=90°,且OB=OO、=2,04=书,求异面直线力0与力。所成角的余弦值的大小.反思与感悟在解决立体几何中两异面直线所成角问题时，若能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量法求解.但应用向量法时一定要注意向量所成角与异面直线所成角的区别.跟踪训练1已知正方体ABCD-AXBCXDX中，E、F分别是ADX.4G的中点，求异面直线/E与CF所成角的余弦值.类型二求直线和平面所成的角例
9、2已知正三棱柱ABC如BG的底面边长为°,侧棱长为也a,求力。与侧面ABB⑷所成的角.反思与感悟用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角.方法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面法向量与斜线的夹角，再进行换算.跟踪训练2如图所示，已知直角梯形其中AB=BC=2AD.AS丄平ABCD.AD//BC,4B1BC,且AS=AB.求直线SC与底面ABCD的夹角0的余弦值.类型三求二面角例3在底面为平行四边形的四棱锥八&5CD中，AB±AC,刊丄平面4BCD,且PA=AB,E是"的中点，求平面以C与平
10、面ABCD的夹角.反思与感悟（1）当空间直角坐标系容易建立（有特殊的位置关系）时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角.只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小（相等或互补），但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的.（2）注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.跟踪训练3若刊丄平面MBC,4C丄BC,PA=AC=1,BC=y[i,求锐二面角APBC的余弦值.当堂训练1.在一个二面角的两个半平面内，与二面角的棱垂直的两个向
11、量分别为（0,-1,3）,（2,2,4）,则这个二面角的余弦值为.2.己知a、b是异面直线，4、BWa,C、DWb,/C丄b,BDIb,且AB=2,CD=,则a与b所成的角是.3.已知在正四棱柱4BCD—4BCQ中，仙=2AB,则CD与平面BDC｝所成角的正弦值是4•如图，在四棱锥S-ABCD中，SF丄平面ABCD,底面ABCD为直角梯形，AD//BC,ZBAD=90°,且肋=4,SA=3,E、F分别为线段EC、SB上的一点（端点除外）,满足SF_CE^_丽_说=入则当实数久的值为时,5•在矩形ABCD中，AB=.BC=d刃丄平ffilABCD.PA=
12、,贝ljPC与平面ABCD所成的角是向量法求角(1)两条异面直线所成的角&可以借助这两条直线的方向向量的夹角°求得，即cos0=
13、cos(p.(2)直线与平面所成的角0可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角(p求得，即sin0=
14、cos或cosF=sin(p.(3)二而角的大小可以通过该二而角的两个而的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角.答案精析问题导学知识点一厶与的夹角为ab>,否思考1不一定.若/i，厶的方向向量的夹角为［0,刽内的角吋,则为兀—〈弘方〉.思考2不一定•可能相等，也可能互补.梳理
15、cos〈a,b}
16、Si©刽icose〃〉
17、I
18、cos<711，“2
