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《【创新设计-课堂讲义】高中数学苏教版选修2-1课堂讲义：3章321《空间向量的应用》》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、3.2空间向量的应用3.2.1直线的方向向量与平面的法向量［学习目标］1.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义.2.会用待定系数法求平面的法向里.戸预习导学全挑战白我.点点落实［知识链接］1.平面的法向量有无数个，它们之间有何关系？答：相互平行.2.-条直线的方向向量和平面法向量是否惟一？是否相等？答：不惟一，它们相互平行，但不一定相等.［预习导引］1.直线的方向向量直线/上的向量妝H0)以及与e共线的非零向量叫做直线/的方向向量.2.平面的法向量如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面g那么
2、称向量71垂直于平面g记作n丄弘此时，我们把向量〃叫做平面g的法向量.戸课堂讲义/重点难点，个个击破要点一直线的方向向量及其应用例1设直线/】的方向向量为a=(l,2,-2),直线/2的方向向量为b=(—2,3,加)，若/】丄仏，则m=.答案2解析由题意，得a丄〃，所以a・b=(l,2,—2)*(—2,3,m)=—2+6—2m=4—2m=0,所以加=2.规律方法若厶丄/2,则/
3、与的方向向量垂直；若则厶与的方向向量平行.跟踪演练1若直线G/2的方向向量分别是a=(l，—3,-1),〃=(&2,2),则
4、与/2的位置关系是.答案垂直解析因为a・b=(l,-3,一1)・(8,2,2)=8—6—2=0,所以a±b,从而厶丄仏・要点二求平面的法向量例2己知点畑0,0)、3(0,50)、C(0,0,c),求平面的一个法向量.解设坐标原点为O,由已知可得：AB=OB-OA=(0,b,0)—(G,0,0)=(—a,50),AC=0C~O4=(0fifc)—(q,0,0)=(—a,0,c).设平面MC的一个法向量为〃=(x,y,z),则nAB=(x,y,z)-(—a,b,0)=—ax+by=011>/i-AC=(x
5、fy,z)・(一a,0,c)=—ax+cz=0.于是得y=*x,z=*x.不妨令x=bc,则y=ac,z=ab.因此，可取n=(bc,ac,%)为平面/BC的一个法向量.规律方法平面的法向量有无数条，一般用待定系数法求解，解一个三元一次方程组，求得其中一条即可，构造方程组时，注意所选平面内的两向量是不共线的，赋值时保证所求法向量非寒，本题中法向量的设法值得借鉴.跟踪演练2如图，ABCD是直角梯形，Z4BC=90。,S/丄平面ABCD,SA=AB=BC=,AD=^求平面SCD与平面SB4的法向量.解9
6、：AD.AB.AS是三条两两垂直的线段，.••以/为原点，以AD.AB.AS的方向为x轴,尹轴，z轴的正方向建立如图所示坐标系，贝*(0,0,0),D(*,(),0),C(l,l,0),S(0,0,l),AD=(^0,0)是平面S必的法向量，设平面SCD的法向量畀=(1,A,w),有〃丄DC,〃丄DS,则/rZ）C=（l,久，w）-（2»1,0）=㊁+久=0,/.2=—2«W-DS=（1,A,“）•（一刁0,1）=—，+u=0,要点三证明平面的法向量例3在正方体4BCD4BCQ中，E,F分别是3
7、耳，CQ的中点.求证：历＞是平面的法向量.证明如图，以Q为坐标原点，DA,DC,DU分别为x,y,建立空间直角坐标系，*),F(0,I，0),设正方体的棱长为1,则£)(0,0,0),D
8、(0,0,l),力(1,0,0),E(l,l—A―►]—►]所以/£)=(—1Q0),£>[F=(0,y—1),/E=(0,l,㊁),所以乔・5>=(—i,o,o).(o,—i)=o,庞5>=(o,i,
9、)-(o,-1)=0,所以乔丄/5》，旋丄历F,又ADCAEF所以活丄平面ADE,从而命是平面ADE的法向量.规律
10、方法用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的数量积证明线线垂直，因此，其思想方法与证明线线垂直相同，区别在于必须证明两个线线垂直.跟踪演练3己知正方体ABCDAXBXCXDX的棱长为1,在BC、DD、上是否存在点E、F,使祗是平面的法向量？若存在，证明你的结论，并求出点E、F满足的条件；若不存在，请说明理由.解建立如图所示的空间直角坐标系，则力(1,0,1),B](l丄0),设F(0,0,/?),Eg1,1),则乔=(0,1,0),祗=(加一1,0,1),鬲=(1,0,1—%).•••乔•祗=0,:.
11、AB丄B]E.若祗是平面的法向量，则^E4=m-l+l-/?=w-/?=0,:.h=m.即E、F满足D、F=CE时，5E是平面/3F的法向量.故存在，且E、F满足D、F=CE.戸当堂检测/当堂训练，体验成功1.已知a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线厶、“的方向向量.若贝，y=•答案6琴24515解析由厶〃仏得，^=x=y，解得兀=6,y=~2~-1.若力(一1,0,1),3(1,4,7)在直线/上，则直线/的一个方向向量为.答案(1,2,3
