竞赛辅导(II)中值定理(I)

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1、设函数f(x)在x0某邻域内具有直到n阶的连续导数,且f(x0)=f(x0)=···=f(n-1)(x0)=0,但f(n)(x0)0,则（1）当n为偶数时,f(x0)是f(x)的极值;若f(n)(x0)<0,则极大值；若f(n)(x0)>0,则极小值（2）当n为奇数时,f(x0)不是f(x)的极值，当n为3的奇数时,(x0,f(x0))是函数f(x)的拐点.若f(n)(x0)<0,则左侧(向上)凹,右侧(向上)凸；若f(n)(x0)>0,则左侧(向上)凸,右侧(向上)凹；补充结论：B练习：★♀方程实根的讨论第三讲微分中值

2、定理及导数应用方程实根问题的一般提法：1.证明方程是否有实根2.证明函数是否有零点3.证明存在一点，使得f()=c方程实根问题的一般方法：零点定理，介值定理，罗尔定理，利用曲线形态等等证明实根唯一的常用方法：1.单调性；2.反证法（假设有两个实根，证矛盾）；3.若有f′(x)0,则通常反证时用罗尔定理。1、应用零点定理例1提示练习提示例2提示练习提示例3简答2、应用介值定理例43、应用罗尔定理例5例6练习提示练习4、应用曲线的形态分析（多用于实根的个数的讨论）例7一般解题步骤（1）求出f(x)驻点和f’(x)不存在的点划分

3、f(x)的单调区间（2）求出f(x)的极值（或最值）（3）分析极值（或最值）与x轴的相关位置，有时需辅以极限协同分析答案例9答案08天津市竞赛题注意到：当时，，故方程与方程同解。命：，。又：例8由闭区间上连续函数零点定理知，在区间内至少有一个零点。又即在区间内单调减，所以在区间内至多有一个零点，从而函数在区间有一个零点。内仅♀有关中值问题的题型类型一：结论为f(n)()=0的命题证明：方法：(1)证为f(n-1)(x)的最值点或极值点，用费马引理；(2)验证f(n-1)(x)满足罗尔定理，用罗尔定理（有时多次用）例10提示（

4、1）利用极限的保号性（2）利用罗尔定理或费马引理练习提示利用积分中值定理，多次利用罗尔定理。设函数在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1），求证：在开区间（0，1），使得内可导，且内至少存在一点练习（01年天津市竞赛题）例11例12提示利用介值定理，再利用罗尔定理。例13提示利用罗尔定理。注意最大值点可能不同，需讨论。练习类型二：含有f(n)()的等式的证明：利用逆向思维,设辅助函数.一般解题方法:证明含一个中值的等式或根的存在,(2)若结论中涉及到含中值的两个不同函数,可用原函数法（或微分方程法）找辅助函数.多用罗尔定理

5、,可考虑用柯西中值定理.(3)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,有时也可考虑对导数用中值定理.例14以上利用一些求导公式，观察所证的特点，设出辅助函数。需要记住的求导公式。例15思考题思考题提示提示练习例16利用微分方程法求辅助函数分析提示例17提示例19例18（05年天津市）提示提示应用柯西中值定理例20例21（07年天津市）提示应用泰勒中值定理提示必须多次应用中值定理。类型三：含有两个中值的等式的证明一般解题方法:例22练习证明在(a,b)内存在相异的两个中值使等式成立:一般思路:（1）先选用一种微分中值定理，然后此

6、中值与给定区间的一个端点之间再用一次适当的微分中值定理。（2）先把待证等式中含有的因子与含有的因子分别移至等号两边，根据各自特征分别构造函数，其次在(a,b)内确定一点x0，把区间分成两个小区间，在每个小区间上再分别用中值。例24练习例23♀不等式的证明的几种方法1、应用函数的单调性2、应用微分中值定理例25例26例28练习例27（07年天津市）3、应用函数的最大值和最小值方法4、应用泰勒公式例29例30例31例32例34例33设是区间上的函数，且，，证明：，（10年天津市）例35练习练习例36（09年天津市）5、应用曲线的

7、凹凸性例37