《中值定理》PPT课件(I)

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1、3.1中值定理1.中值定理的条件和结论2.中值定理的几何意义3.罗尔定理及中值定理之间的关系4.中值定理的应用常用于其他定理的证明；用于证明恒等式、不等式、中值的存在性，应逐步熟悉构造辅助函数证题的方法.方程的根的中存在性、5.中值定理的推论(1)若(常数)，(2)若费马引理设函数在点的某邻域内有定义，并且在处可导，如果对任意的有(或)证不妨设时，则对有从而当时，当时，则由极限的保号性，及函数在处可导所以，一、罗尔(Rolle)定理若函数在续，在开区间内可导，且在区间端点的函数值相等，即则在内至少有一点使上连闭区间证在连续，必存在最大值和最小值若则故都有

2、若最值不可能同时在端点取得.不妨设则在内使有故由费马引理知证毕.至少存在一点例如，在上连续，在上可导，且取则有注：一般情况下，定理结论中导函数的零点不易找到的.罗尔定理的三个条件缺一不可，举举例说明是罗尔定理的条件与结论罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不满足,定理的结论就可能不成立.下面分别举例说明之:易见函数断,不满足闭区间连续的条件,1.在闭区间[0,1]的左端点处间尽管在开区间(0,1)内存在,且切线.但显然没有水平如图所示.2.我们在第二章第一节中已证明过处是不可导的,因此不满足在开区间可导的条件,虽然在内是连续的,且有但是没有水平切线

3、.在函数如图所示.3.函数虽然满足在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导的条件,但显然也没有水平切线.如图所示.不求导数，的导数有几个零点及这些零点所在的范围.解因为所以在闭从而，使即是的一个零点；使例1判断函数区间上满足罗尔定理的三个条件，、内至少存在一点在又在内至少存在一点即是的一个零点；又因为为二次多项式，故恰好有两个零点，最多只能有两个零点，和分别在区间内.例对函数在区间上罗尔定理的正确性.验证解显然在上连续,且而在内确存在一点使在内可导,完例2证证明方程有且仅有一个小于1的正实根.设则在上连续,且由介值定理,存在使即为方程的小于1的

4、正实根.设另有使因为在之间满足罗尔定理的条件,所以至少存在一点(在之间),使得但导致矛盾,故为唯一实根.例5设在上连续,在内可导,且证明:存在使成立.证从结论倒推分析知,可引进辅助函数由于罗尔定理条件,易知在上满足且因此,在内至少存在一点使例5设在上连续,在内可导,且证明:存在使成立.证因此,在内至少存在一点使即因所以例6证设函数在上连续,导,在内可且若存在常数使得试证至少存在一点使得因故和同号,不妨设又因为所以在和上连续,证在和上连续,设由于和异号,和异号,所以,至少存在一点使至少存在一点使在区间上,显然满足罗尔定理的三个条件,即在上连续,在内可导,所

5、以至少存在一点使完二、拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理若函数在闭区间上连续,内至少有一点使得分析：条件中与罗尔定理相差几何图中,弦方程为曲线减去弦所得曲线在两端点上的函数值相等.在开区间内可导,则在拉格朗日(Lagrange)中值定理于是,若作辅助函数则满足罗尔定理的条件,故在内至少存在一点使即拉格朗日(Lagrange)中值定理若函数在闭区间上连续,内至少有一点使得在开区间内可导,则在拉格朗日(Lagrange)中值定理则满足罗尔定理的条件,故在内至少存在一点使即或由此可证得定理.拉格朗日中值公式注:拉格朗日公式

6、的增量精确地表达了函数在一个区间上与函数在该区间内某点处的导数之间的关系.拉格朗日(Lagrange)中值定理或由此可证得定理.拉格朗日中值公式拉格朗日(Lagrange)中值定理或由此可证得定理.拉格朗日中值公式设在内可导,则有即增量的精确表达式拉格朗日中值公式又称有限增量公式.推论1如果函数在区间上的导数恒为零，那么在区间上是一个常数.证在区间上任取两点在区间上得由假设于是再由的任意性，知在区间上的函数值都相等，即在区间上是一个常数.应用拉格朗日中值定理，任意点处完拉格朗日(Lagrange)中值定理推论1如果函数在区间上的导数恒为零,那么在区间上是

7、一个常数.推论1表明:导数为零的函数就是常数函数.这一结论以后在积分学中将会用到.由推论1立即可得：推论2如果函数与在区间上恒有在区间上为常数).例3证完证明设即又例解验证函数在上满足拉格朗日中值定理,并由结论求值.在上连续,在可导,故满足拉格朗日中值定理的条件.则即故例4证证明当时,设足拉格朗日中值定理的条件.故从而又由则在上满例9证证明当时,即例证设是在上可导的函数,且单调减少,试证:对于恒有当时,有故不等式成立.当时,在上应用拉氏定理知,使在上应用拉氏定理知证在上应用拉氏定理知使所以证毕.单调减少,三、柯西(Cauchy)中值定理柯西(Cauchy

8、)中值定理闭区间上连续,在开区间内可导,且在内每一点处均不为零,有一点使得如果函