《重修中值定理》PPT课件

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1、第三章中值定理与导数的应用一、中值定理几何解释:注意:1若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如,又例如,(3)若f(a)=f(b)=0,则a,b为f(x)的两个零点。结论：可导函数的两个零点之间至少有一个导函数的一个零点2、拉格朗日中值定理几何解释:拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.注：1拉格朗日中值公式推论2个重要结论3、柯西(Cauchy)中值定理几何解释:二典型题型解1.验证定理的正确性这就验证了命题的正确性.2根（零点）的判别1．f(x)=x(x-1)(x-2)，不解方程，问f(x)有几个零点

2、，位于哪个区间。解：显然f(x)处处可导，f（0）=f（1）=f（2），由罗尔定理知，而f(x)是二次多项式，仅有两个根，所以f(x)有且仅有两个零点，分别位于区间（0，1）、（1，2）内。（1）分析：存在ξ∈（0，a）使（1）成立证明：令由罗尔定理，存在ξ∈（0，a），使3中值等式的证明小结：用罗尔定理证明微分中值等式的一般方法（1）将欲证等式写成g(ξ)=0的形式（2）观察分析能否将g(ξ)或g(ξ)·h(ξ)(h(ξ)应是一非零因子)看成某函数F(x)在x=ξ点的导数.（3）检验辅助函数F(x)在所论区间上是否满足罗尔定理的条件，如满足则定理得证。常用辅助函数：xkf(x)，eαx

3、f(x)，f(x)eg(x)，f(x)g(x)(x－x0)kf(x)，（3）在[a,b]上连续,在(a,b)内可导，由拉格朗日中值定理得即设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导,证明证明（4）证分析:结论可变形为4证明恒等式（1）证5不等式的证明（1）证由上式得二洛必达法则1、洛必达法则Ⅰ定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.2洛必达法则II3洛必达法则中的条件是充分而非必要的.例1解例2解二例子所以当x→0时,(1+x)μ－1～μx(μ为实数）特别地例3解例4解例5解注:可以先化简并且极限不为0的因子的极限可以先求出.另解注意：洛必

4、达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.例6解例7．设f(x)二阶可导，求解：由f(x)二阶可导，知f(x)连续，但不可再用洛必达法则，是否存在无法判断。下一步应利用二阶导数定义：例1解关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型.步骤:例2例1解步骤:解：原式=解：步骤:例1解例2解例3解一、总结1．三个中值定理及应用罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理二、练习题1、求极限1、3、解法一：原极限解法二：先求:原极限2对函数f(x)=x2+2，F(x)=x3－1在[1,2]上验证柯西定理的正确性。解：易知f(x)、F(x)在[1,2]上连续,(1,2)内

5、可导，这样就验证了柯西定理的正确性。满足柯西中值定理的条件。在(1，2)内不为零，4中值等式的证明证明(3)设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，证明：存在一点ξ,∈(a,b)使证在[a，b]上由拉格朗日中值定理得在[a，b]上由柯西中值定理得由(1),(2)得