《中值定理》PPT课件

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1、第三章中值定理与导数应用3.1、中值定理I、知识要点一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理四、泰勒公式1、带拉格朗日余项的泰勒公式2、带皮亚诺余项的泰勒公式f(x)在x0处f（n）(x0)存在，则有即Rn（x）=o（（x－x0）n）——n阶泰勒公式的佩亚诺余项3、基本初等函数的麦克劳林公式II、典型例题一、利用中值定理证明中值等式1、利用罗尔定理证明中值等式例1、两边积分常用辅助函数：xkf(x)，eαxf(x)，f(x)eg(x)，f(x)g(x)(x－x0)kf(x)，2利用拉格朗日、柯西中值定理

2、例2、(2)设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，证明：存在一点ξ,∈(a,b)使证在[a，b]上由拉格朗日中值定理得在[a，b]上由柯西中值定理得由(1),(2)得3利用拉格朗日结合介值定理证明二、函数恒等式的证明所以f（x）=Cex，再由f（0）=1C=1，所以f（x）=ex。例1、三、泰勒公式(带佩亚诺余项的麦克劳林公式)用于极限运算例12、泰勒公式用于无穷小的阶的估计3、泰勒公式用于求函数在某点的各阶导数例1f（x）在x=0的某邻域内二阶可导，且有求解由题设可得3.2、洛必达法则I、知识要点一、(洛必达L

3、’Hospital法则)二、方法:将其它类型未定式化为步骤:化为步骤:经过通分、变量代换化为步骤:II、典型例题方法：先化简（初等变换、等价无穷小替换、非零因子极限先求出、变量替换），再用洛必达法则一、利用洛必达法则求极限解：例2例3解解法一：原极限解法二：先求:原极限注：数列极限利用函数极限来求例5、例6．设f(x)在x0二阶可导，求解：但不可再用洛必达法则，下一步应利用二阶导数定义：