《中值定理总结》PPT课件

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1、第三章微分中值定理与导数的应用高等数学微分中值定理习题课f(x)满足条件(2),(3),但不满足条件(1),在(0,1)内,例如:(i)y=f(x)=1,x=1,x[0,1)图1xy011注意:罗尔定理的三个条件是充分的，但不是必要的.f(x)在[-1,1]上,满足条件(1),(3),但不满足条件(2),当x时,f(x)=1.x时,f(x)=1.x=0时,f(0)不存在.(ii)0xy111图2y=

2、x

3、(iii)y=f(x)=x,x[1,2],f(x)在[1,2]上满足条件(1),(2),

4、但不满足条件(3),在(1,2)内,f(x)=1.02112xy图3y=x例1设函数f(x)=(x1)(x2)(x3),不求导数,试判断方程fx有几个实根,它们分别在何区间?解:f(x)在[1,2]上连续,在(1,2)上可导,且f(1)=f(2);由罗尔定理:1,使f(1;同理,2,,注意到f(x)=0为二次方程,使f(2;它至多有两个实根,故1,2是f(x)=0的全部实根.例2.设a>b>0n>1.证明:令f(x)=xn显然f(x)在[b,a]上满足拉格朗日定

5、理条件,证明:nbn1(ab)1所以bn1<n1

6、=f(b).分析不难发现，在[－2,0]上不满足连续的条件，因此应排除A.对于，在[－2,4]上连续，在(－2,4)内可导；f(－2)=36，f(4)=0，，因此应排除B.对于f(x)=

7、x

8、，在[－1,1]上连续，在(－1,1)内不可导，因此应排除Ｄ.综合之，本例应单选Ｃ.例4设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导，f(a)=f(b),则曲线y=f(x)在(a,b)内平行于x轴的切线().A.仅有一条；B.至少有一条；C.不一定存在；D.不存在.由题目中所给的条件可知，函数y=f(x)在[a,b]上满足罗尔定理条件，

9、可知至少存在一点使得分析又由导数的几何意义可知曲线y=f(x)在　　　　处的切线斜率为零，即切线平行于x轴.因此本例应选B.例5选择题.函数在区间[－1,3]上满足拉格朗日中值定理的=().由于在[－1,3]上连续，在(－1,3)内可导，因此f(x)在[－1,3]上满足拉格朗日中值定理条件.分析由拉格朗日定理可知，必定存在由于f(b)=f(3)=16,f(a)=f(－1)=4,而因此有可解得，因此本例应选D.例6试证对于所给不等式，可以认定为函数的增量与自变量的增量之间的关系.因此可以设f(x)=arctanx.证设f(x)=arcta

10、nx,不妨设a

11、.20.4当x趋于时,不趋于,而是趋于1.3.若f(x)在(a,b)上可微,[a,b]上连续,则对于任意,存在,使容易猜测.这实际上是不成立的.请看下面的例题.当时,必有.从等式例10设易见f满足拉格朗日中值定理的条件,约去x,我们得到因此对每个x>0,存在使由于,有因作为应用，下面再举两个简单的例子.例11求证证恒有即例12设f(x)=x3－x.讨论函数f的单调区间.解由于因此-1.5-1-0.50.511.5-1.5-1-0.5O0.511.5