中值定理证明方法总结ppt课件.ppt

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1、中值定理应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式推广微分中值定理的应用与技巧基本概念、内容、定理、公式一、罗尔(Role)定理二、拉格朗日中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理机动目录上页下页返回结束中值定理一、罗尔(Rolle)定理y=f(x)满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)在(a,b)内至少存在一点ξ,使f′(ξ)=0.证:因f(x)在[a,b]上连续，故在[a,b]上取得最大值M和最小值m.若M=m,则f(x)≡M,x

2、∈[a,b],因此∀ξ∈(a,b),f′(ξ)=0.bxyoaξy=f(x)机动目录上页下页返回结束若M>m,则M和m中至少有一个与端点值不等,不妨设M≠f(a),则至少存在一点ξ∈(a,b),使f(ξ)=M,则由费马引理得f′(ξ)=0.注意:1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.例如,0≤x<1⎩0,x=1y⎨f(x)=⎧x,x1yox∈[−1,1]f(x)=xf(x)=xyx∈[0,1]ox−1o1x1机动目录上页下页返回结束limf(x)=limf(x)x→a+x→b−在(a,b)内至少存在一点ξ,使f′(ξ)=0.2)

3、定理条件只是充分的.本定理可推广为y=f(x)在(a,b)内可导,且证明提示:设F(x)=证F(x)在[a,b]上满足罗尔定理.f(a+),x=af(x),a

4、上连续,在(a,b)内可导,且ϕ(a)=bf(a)−af(b)=ϕ(b),由罗尔定理知至少存在一点证:问题转化为证ϕ(x)=f(x)−f(b)−f(a)xb−ab−aξ∈(a,b),使ϕ′(ξ)=0,即定理结论成立.证毕拉氏目录上页下页返回结束=0f(b)−f(a)f′(ξ)−b−a三、柯西(Cauchy)中值定理=0f(b)−f(a)F′(ξ)−f′(ξ)F(b)−F(a)ϕ′(ξ)分析:F(b)−F(a)=F′(η)(b−a)≠0f(x)及F(x)满足:(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(

5、a,b)内F′(x)≠0至少存在一点ξ∈(a,b),使f(b)−f(a)=f′(ξ).F′(ξ)F(b)−F(a)a<η

6、)思考:柯西定理的下述证法对吗?∵f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a),ξ∈(a,b)F(b)−F(a)=F′(ξ)(b−a),ξ∈(a,b)两个ξ不一定相同错!机动目录上页下页返回结束上面两式相比即得结论.罗尔定理f′(ξ)=0yy=f(x)oaξbxF′(ξ)f(b)−f(a)=f′(ξ)F(b)−F(a)b−af′(ξ)=f(b)−f(a)拉格朗日中值定理f(a)=f(b)f(a)=f(b)F(x)=x)n+1ξx−x0(n+1)()(+(n+1)!f1柯西中值定理F(x)=xyy=f(x)oaξbx泰勒中值定理f(x)=

7、f(x0)+f′(x0)(x−x0)(n)n+⋯+n!f(x0)(x−x0)1n=0几个中值定理的关系证明中值定理的方法辅助函数法直观分析逆向分析例如,证明拉格朗日定理:f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)要构造满足罗尔定理条件的辅助函数.y=f(x)方法1.直观分析由图可知,设辅助函数oayxx+Cby=f(b)−f(a)b−aF(x)=f(x)−f(b)−f(a)x−Cb−a(C为任意常数)ξ方法2.逆向分析f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)要证即证f′(ξ)−f(b)−f(a)=0b−aF′(ξ)F′(x)=f′(x

8、)−f(b)−f(a)b−a原函数法F(x)=f(x)−f(b)−f(a)xb−a辅助函数同样,柯西中值定理要证ξ∈(a,b)f(b)−f(a)=f′(ξ),g′(ξ)g(b)−g(a)即证f′(ξ)−f(b)−f(a)g′(ξ)=0