《微分中值定理》PPT课件

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1、§2.6微分中值定理一、罗尔（Rolle）定理二、拉格朗日（Lagrange）中值定理三、柯西（Cauchy）中值定理微分中值定理是微分学的理论基础;是利用导数研究函数性质的理论依据.微分中值定理的共同特点是：在一定的条件下，可以断定在所给区间内至少有一点，使所研究的函数在该点具有某种微分性质.§2.6微分中值定理一、罗尔（Rolle）定理定理1（费马引理）有定义,如果对有那么内的某邻域在点设函数)()(00xUxxf,)(0存在且xf¢费马(1601–1665)法国数学家xyO几何解释如右图，曲线过x0点有水平切线.§2.6微分中值定理证设在x0附近，则当时，由极限的保号

2、性，xyO§2.6微分中值定理定理2（罗尔定理）(1)(2)(3)使得在一条光滑的平面曲线弧AB上,⌒至少有平行于x轴.一点处的切线几何解释§2.6微分中值定理证则最值不可能同时在端点取得.使由费马引理,在闭区间[a,b]上连续，则.)(mM1=若.)(mM2¹若§2.6微分中值定理定理条件不满足,结论不一定成立.注①定理条件只是充分的.②§2.6微分中值定理例1求证方程在有唯一实根.证即为方程的实根.根的存在性设则在连续，由零点定理，§2.6微分中值定理满足罗尔定理的条件.根的唯一性假设另有矛盾,故方程在内有唯一实根.§2.6微分中值定理二、拉格朗日（Lagrange）中

3、值定理定理3（拉格朗日中值定理）(1)(2)使得;],[上连续在闭区间ba;),(内可导在开区间ba或写成拉格朗日(1736–1813)法国数学家拉格朗日中值公式§2.6微分中值定理几何解释:思路分析在该点处的切线平行于弦弦AB所在的直线方程为曲线弧AB与弦AB在端点处值相同，对应方程之差即可满足罗尔定理的条件，§2.6微分中值定理证作辅助函数所以,],[)(上连续在闭区间baxF且§2.6微分中值定理①若拉格朗日中值定理中的条件变为;),(内可导在开区间ba在a点右连续，在b点左连续；注(1)(2)②若则由拉格朗日中值公式有限增量公式结论仍然成立.③罗尔定理是拉格朗日中值

4、定理的特殊情况.§2.6微分中值定理推论1如果函数在某个区间内的导数恒为零，则函数在该区间上是一个常数.证由条件,即在区间内任意两点的函数值都相等，所以函数为常数.则由拉格朗日中值定理，有21,xx在区间内任取两点),()(21xfxf=得§2.6微分中值定理推论2如果两个函数f(x)、g(x)在某个区间内的导数存在且恒相等，区间内，则在该（C是一个常数）证令则由推论1可知，在此区间内故§2.6微分中值定理例2证明：当时，证设由推论1，又故等式成立.则§2.6微分中值定理例3证明：对于所有的x、y，不等式成立.证设在x、y之间用拉格朗日中值定理，存在介于x、y之间，使得又故

5、得§2.6微分中值定理三、柯西（Cauchy）中值定理定理4（柯西中值定理）(1)(2)使得柯西(1789-1859)法国数学家若函数及满足：§2.6微分中值定理几何解释:证作辅助函数则满足罗尔定理的条件，使§2.6微分中值定理即故特别地，若拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况.§2.6微分中值定理例4证要证明的结论可变形为即满足柯西中值定理的条件,设上在]1,0[)(),(xgxf则使得内至少存在一点在,)1,0(x§2.6微分中值定理内容小结罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理三大微分中值定理注意定理成立的条件；条件只是充分的罗尔定理费马引理拉格朗日中值定理柯西中

6、值定理§2.6微分中值定理思考练习§2.6微分中值定理且在内可导,设使证明至少存在一点思考练习§2.6微分中值定理解答提示要证明的结论可变形为即设验证在上满足罗尔定理条件.