《微分中值定理》PPT课件(I)

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1、第三章微分中值定理与导数的应用因为导数是函数随自变量变化的瞬时变所以可借助导数来研究函数.但每一点的导数仅仅是与局部有关的一点的变化性态,要用导数来研究函数的全部性态,还需架起新的“桥梁”.中值定理(meanvaluetheorem)化率,指导数在某个区间内所具有的一些重要性质,它们都与自变量区间内部的某个中间值有关.1Rolle定理Lagrange中值定理小结思考题作业Chauchy中值定理§3.1微分中值定理第三章微分中值定理与导数的应用推广泰勒公式(第三节)2本节的几个定理都来源于下面的明显的在一条光滑的平面曲线段AB上,⌒至少有与连接此曲线两端点的弦平行.几何事实:一点处的切线

2、连续的曲线弧、除端点外处处有不垂直于x轴的切线.有水平的切线3Rolle定理(1)(2)(3)罗尔Rolle,(法)1652-1719使得如,一、罗尔(Rolle)定理4物理解释:变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.几何解释:5Fermat引理费马Fermat,(法)1601-1665有定义,如果对有那么内的某邻域在点设函数)()(00xUxxf,)(0存在且xf¢函数导数为0的点也称为驻点、稳定点或临界点。6Rolle定理(1)(2)(3)使得证所以最值不可能同时在端点取得.使有由Fermat引理,7(1)定理条件不全具备,注结论不一定成立.Rolle定理(1)(2)(3)使得]

3、1,0[,)(Î=xxxf这三个条件只是充分条件，而非必要条件(2)罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数等0的点,有的函数这样的点可能不止一个.8例证(1)(2)定理的假设条件满足结论正确验证Rolle定理的正确性.Rolle定理肯定了的存在性,一般没必要知道究竟等于什么数,只要知道存在即可.,)2,1(内可导在-9例证零点定理即为方程的小于1的正实根.(1)存在性10(2)唯一性对可导函数f(x),f(x)=0的两实根之间,在方程的一个实根.Rolle定理还指出,至少存在方程满足Rolle定理的条件.矛盾,故假设不真!11练习不求导数判断函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-

4、3)的导数有几个实根以及其所在范围解f(1)=f(2)=f(3)=0f(x)在[12][23]上满足Rolle定理的三个条件在(12)内至少存在一点x1使f(x1)=0x1是f(x)的一个实根在(23)内至少存在一点x2使f(x2)=0x2也是f(x)的一个实根f(x)是二次多项式只能有两个实根分别在区间(12)及(23)内12现在，微积分里面最著名的定理之一，就要登场了。只要该定理一出场，真可以让一大堆定理顿时黯然失色。不错，我们所说的不是别的，正是中值定理。你大概做梦也不会想到，大名鼎鼎的中值定理，不过只是朴实无华的罗尔定理转个角度

5、，歪斜一下而已。你在看罗尔定理时，若是把脑袋歪向一边，看到的就是中值定理！13Rolle定理Lagrange中值定理14注拉格朗日Lagrange(法)1736-1813拉格朗日中值定理(1)(2)使得二、拉格朗日(Lagrange)中值定理;],[上连续在闭区间ba;),(内可导在开区间baMealValueTheorem15证作辅助函数由此得Lagrange中值公式且易知微分中值定理16微积分里有许多决定性的结果，都要依赖于中值定理来证明，这个定理的重要性，使之不愧为“最有价值定理”（MVT）。MealValueTheorem它表明了函数在两点处的函数值的单调性及某些等式与不等式的

6、证明.在微分学中占有极重要的地位.与导数间的关系.今后要多次用到它.尤其可利用它研究函数17几何解释:物理解释:某一时刻达到它的平均速度.拉格朗日中值定理告诉我们,在t=a到t=b的时间段内,连续运动的物体至少会在18例证如果f(x)在某区间上可导,要分析函数在该区间上任意两点的函数值有何关系,通常就想到微分中值定理.记利用微分中值定理,得19Lagrange公式可以写成下面的各种形式:它表达了函数增量和某点的注但是增量、这是十分方便的.由(3)式看出,导数之间的直接关系.导数是个等式关系.Lagrange中值定理又称Lagrange中值公式又称有限增量公式.有限增量定理.20还有什么

7、？21推论1推论2(C为常数)推论3用来证明一些重要的不等式推论4用来判断函数的单调性22例证由推论自证说明欲证只需证在上且使,)(0Cxf=,0)(º¢xf23例试证明下列不等式(1)设则f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，由拉格朗日定理得由于故证24在(0,x)（或(x,0)）内可导.即(介于0与x之间).则f(t)在[0,x]（或[x,0]）上连续，(2)令f(t)=et,于是，25例证从而26柯西Cauchy(法)1789-