微分中值定理及其应用(I)

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1、第六章微分中值定理及其应用6.1微分中值定理一、罗尔(Rolle)定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理MadebyHuilaiLi中值定理的演示T与l平行这样的x可能有好多MadebyHuilaiLi●●高了低了到了中值定理的演示一个特殊的例子：假设从A点运动到B点，那么有许多种走法，首先我们来看一个例子。行走的典型路线如下：MadebyHuilaiLi●●这说明：在极大值或极小值点处,函数的导数为0.几何意义是：在极值点处的切线平行于AB的连线或x轴.中值定理的演示

2、典型情形的证明思想●结论:Rolle定理一、罗尔(Rolle)定理例如,几何解释:证注意:罗尔定理的三个条件是充分的，但不是必要的.若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立..例如,又例如,f(x)满足条件(2),(3),但不满足条件(1),在(0,1)内,例如:(i)y=f(x)=1,x=1,x[0,1)图3-1-2xy011f(x)在[-1,1]上,满足条件(1),(3),但不满足条件(2),当x时,f(x)=1.x时,f(x)=1.x=0时,f(0)不存

3、在.(ii)0xy111图3-1-3y=

4、x

5、(iii)y=f(x)=x,x[1,2],f(x)在[1,2]上满足条件(1),(2),但不满足条件(3),在(1,2)内,f(x)=1.02112xy图3-1-4y=x例1设函数f(x)=(x1)(x2)(x3),不求导数,试判断方程fx有几个实根,它们分别在何区间?解:f(x)在[1,2]上连续,在(1,2)上可导,且f(1)=f(2);由罗尔定理:1,使f(1;同理,2,,注意到f(x)=0为

6、二次方程,使f(2;它至多有两个实根,故1,2是f(x)=0的全部实根.例2证由介值定理即为方程的小于1的正实根.矛盾,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理MadebyHuilaiLiT与l平行中值定理的演示更广泛情形的证明思想:同一点几何解释:证分析:弦AB方程为作辅助函数拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.微分中值定理推论2证明推论1例3证例4证由上

7、式得例5.设a>b>0n>1.证明:令f(x)=xn显然f(x)在[b,a]上满足拉格朗日定理条件,证明:nbn1(ab)1所以bn1<n1

8、形为四、小结Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理2罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；1罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理中条件是充分的，但不是必要的.3证明函数方程或方程的根的存在性，可以考虑应用罗尔定理.4应用拉格朗日中值定理和柯西中值定理可以证明一些不等式思考题试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.思考题解答不满足在闭区间上连续的条件；且不满足在开区间内可微的条件；以上两个都可说明问题.