《中值定理教学》PPT课件

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1、一、费马定理二、罗尔(Rolle)定理几何解释:注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如,验证定理正确与否的命题，一定要验证两点：（1）定理的条件是否满足；（2）若条件满足，求出定理结论中的思考2.设且在内可导,证明至少存在一点使提示:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设现在我们把曲线在平面内旋转一定角度注拉格朗日Lagrange(法)1736-1813拉格朗日中值定理(1)(2)使得二、拉格朗日(Lagrange)中值定理;],[上连续在闭区间ba;),(内可导在开区间ba注拉格朗日中值定理又称有限增量定理.微分中值定理（3）拉氏公式精确地表

2、达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.平均值公式不满足在闭区间上连续的条件；且不满足在开区间内可微的条件；以上两个都可说明问题.8）拉格朗日中值定理的条件缺一不可：AyxoBxxyoBA拉格朗日中值定理(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数证明方法作辅助函数显然,在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且证明:问题转化为证由罗尔定理知至少存在即定理结论成立.132一点例1证明若f(x)在[a,b]上可微，(a,b),使证明:则至少存在一点作辅助函数显然f(x)在[

3、a,b]上满足拉格朗日定理条件,有即推论证:在I上任取两点由的任意性知,在I上为常数.例2.证明等式证:设由推论可知(常数)令x=0,得又故所证等式在定义域上成立.自证:经验:欲证时只需证在I上例3.证明不等式证:设中值定理条件,即因为故因此应有柯西中值定理的几何解释三、柯西(Cauchy)中值定理例8证分析:结论可变形为故证例9.设至少存在一点使证:结论可变形为设则在[0,1]上满足柯西中值定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点,使即证明例11.试证至少存在一点使证:法1用柯西中值定理.则f(x),F(x)在[1,e]上满足柯西中值定理条件,令因此即分析:例11.试证至少存

4、在一点使法2令则f(x)在[1,e]上满足罗尔中值定理条件,使因此存在例11.试证至少存在一点使法3令则f(x)在[1,e]连续四、小结Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.费马(1601–1665)法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好.他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献.他特别爱好数论,他提出的费马大定理:至今尚未得到普遍的证明.他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中提炼出来的.拉格朗日(1

5、736–1813)法国数学家.他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来,数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作,他是对分析数学产生全面影响的数学家之一.柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是为巴黎综合学校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》,《微积分在几何上的应用》等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书7本,思考题试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.思

6、考题解答不满足在闭区间上连续的条件；且不满足在开区间内可微的条件；以上两个都可说明问题.练习题练习题答案