拉格朗日中值定理(I)

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1、拉格朗日中值定理函数单调性的判定法拉格朗日中值定理函数单调性的判定法引入新课新课讲授小结与作业导数的几何意义：y=f(x)0xy引入新课例题α引例.解：ABP0xy注：这个例题反映了一个一般事实，可以写成下面的定理。返回(A)一.拉格朗日中值定理推论：如果y=(x)在区间（a、b)内有f'(x)≡0则在此区间内f(x)≡c(常数）。定理：如果函数y=(x)满足，10.在（a、b)上连续20.在（a、b)内可导，则至少存在一点使等式f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)成立。注：这个推论是常数的导数是零的逆定理。例题与练习新课讲授(B)练习

2、1：下列函数中在区间[-1、1]上满足拉格朗日中值定理条件的是______(A)例1.求函数f(x)=x2+2x在区间[0、1]内满足拉格朗日中值定理的ξ值。解：f(1)-f(0)=3∴2ξ+2=3∴ξ1)f(x)=ln(1+x)2)f(x)=

3、x

4、4)f(x)=arctanx下一页二.函数单调性的判定法0xy0xyabABabAB几何特征：定理：设函数y=f(x)在[a、b]上连续,在（a、b)内可导.1）若在(a、b)内f’(x)>0，则y=f(x)在[a、b]上单调增加。2）若在(a、b)内f’(x)<0，则y=f(x)在[a、b]上

5、单调减少。y=f(x)y=f(x)证明f'(x)>0f'(x)<0证明在(a、b)内任取两点x1,x2且x10,则f’(ξ)>0又x2-x1>0∴f(x2)>f(x1)∴y=f(x)在[a、b]上单调增加同理可证：若f'(x)<0,则函数f(x)在[a、b]上单调减少注：1）上述定理中间区间[a、b]若改为(a、b)或无限区间结论同样成立。2）若f(x)在(a、b)内的个别点的导数为零，其

6、余的点都有f'(x)>0(或f'(x)<0)，则f(x)在(a、b)内满足单调增加(单调减少).例题(A)例1.判定y=x3的单调性y'=3x2当x=0时y'=0当x≠0时y'>0∴x∈(-∞,+∞)y单调增加0xy(A)例2.判断下列函数的单调性下一页解：解：1）定义域为(-∞、+∞)2)f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)3)列表：令f'(x)=0得x1=1x2=24）由表可知：函数的单调增区间为（-∞、1]∪[2、+∞）单调减区间为（1、2）。xy'y(-∞、1)+10（1、2）-+(2、+∞)20(B)练习2：确

7、定函数y=2x3+3x2-12x+1的单调区间。下一页(C)例4：解：1）定义域为(-∞、-1)∪（-1、+∞).3)列表:(-∞、-2)+-20（-1、0）-00+(0、+∞)4）由表可知函数的单调增区间为(-∞、-2)∪(0、+∞)单调减区间为（-2、-1）∪（-1、0）。xy’y（-2、-1）-返回三.小结与作业1.拉格朗日中值定理及推论。2.函数单调性的判定方法与步骤。3.作业：<教与学>P40:(A)1.(1)(B)3.(3)(4)(C)3.(6)小结与作业返回拉格朗日中值定理函数单调性的判定法引入新课新课讲授小结与作业拉格朗日中

8、值定理函数单调性的判定法