拉格朗日中值定理

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1、拉格朗日中值定理引言众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用.研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的.拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数.实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个.但事实上若从思想方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法.首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述.1罗尔中值定理如果函数满足条件：在闭区间上连续；在开区间内可导；（3）,则

2、在内至少存在一点,使得罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线在点处的纵坐标相等，那么，在弧上至少有一点，曲线在点的切线平行于轴，如图1，注意定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于的，使得.这就是说定理的条件是充分的，但非必要的.2拉格朗日中值定理若函数满足如下条件：在闭区间上连续；在开区间内可导；则在内至少存在一点，使拉格朗日中值定理的几何意义：函数在区间上的图形是连续光滑曲线弧8上至少有一点，曲线在点的切线平行于弦.如图2，从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若在闭区间两端点的函数值相等，即，则拉格朗日中值定

3、理就是罗尔中值定理.换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此，我们只须对函数作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理.3证明拉格朗日中值定理3.1教材证法证明作辅助函数显然，函数满足在闭区间上连续，在开区间内可导，而且．于是由罗尔中值定理知道，至少存在一点，使.即.3.2用作差法引入辅助函数法证明作辅助函数显然，函数在闭区间上连续，在开区间内可导，，因此，由罗尔中值定理得，至少存在一点，使得，即推广1如图3过原点作∥，由与直线对应的函数之差构成辅助函数，因为直线的斜率与直线的斜率相同，即有：，的直线方程为：，于是引入的辅助函数为：.（证

4、明略）推广2如图4过点作直线∥，直线的方程为：，由与直线函数之差构成辅助函数，于是有：8.（证明略）推广3如图5过点作直线∥，直线的方程为，由与直线函数之差构成辅助函数，于是有：.事实上，可过轴上任已知点作∥得直线为，从而利用与直线的函数之差构成满足罗尔中值定理的辅助函数都可以用来证明拉格朗日中值定理.因是任意实数，显然，这样的辅助函数有无多个.3.3用对称法引入辅助函数法在第二种方法中引入的无数个辅助函数中关于轴的对称函数也有无数个，显然这些函数也都可以用来证明拉格朗日中值定理.从几何意义上看，上面的辅助函数是用曲线函数减去直线函数，反过来，用直线函数减曲线函数，即可得与

5、之对称的辅助函数如下：⑴⑵8⑶⑷等等.这类能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数显然也有无数个.这里仅以⑵为例给出拉格朗日中值定理的证明.证明显然，函数满足条件：在闭区间上连续；在开区间内可导；.由罗尔中值定理知，至少存在一点，使得，从而有，显然可用其它辅助函数作类似的证明.3.4转轴法由拉格朗日中值定理的几何图形可以看出，若把坐标系逆时针旋转适当的角度，得新直角坐标系，若平行于弦，则在新的坐标系下满足罗尔中值定理，由此得拉格朗日中值定理的证明.证明作转轴变换，，为求出，解出得①②由得，从而，取满足上式即可.由在闭区间上连续，在开区间内可导，知在闭区间上连续，在开区间内可导，

6、且，因此，由罗尔中值定理知，至少存在一点，使得，即3.5用迭加法引入辅助函数法让迭加一个含待顶系数的一次函数，例如令或，通过使，确定出，即可得到所需的辅助函数.8例如由，令得，从而，而可取任意实数，这样我们就得到了辅助函数，由的任意性易知迭加法可构造出无数个辅助函数，这些函数都可用于证明拉格朗日中值定理.3.6用行列式引入辅助函数法证明构造一个含且满足罗尔中值定理的函数，关键是满足.我们从行列式的性质想到行列式的值在时恰恰均为0，因此可设易证，展开得.因为在闭区间上连续，在开区间内可导，所以在闭区间上连续，在开区间内可导，且，所以由罗尔中值定理知，至少存在一点，使得.因为即

7、：3.7数形相结合法引理在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，，则面积为，这一引理的证明在这里我们不做介绍，下面我们利用这一引理对拉格朗日中值定理作出一种新的证明.这种方法是将数形相结合，考虑实际背景刻意构造函数使之满足罗尔中值定理的条件.如图，设是直线与从点开始的第一个交点，则构造，8易验证满足罗尔中值定理的条件：在闭区间上连续，在开区间内可导，而且，则至少存在一点，使，即：但是，这是因为，如果，则，这样使得成为直线与从点的第一个交点，与已知矛盾）.故，即.若只从满足罗尔中值定理的要求出发，我们可以摈弃