中值定理与导数应用(II)

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1、第四章中值定理与导数应用第一节中值定理第二节洛比达法则第三节函数的单调性与极值第四节函数的最大值与最小值第五节曲线的凹凸性与拐点第六节函数图形的描绘第七节曲率第八节导数在经济分析中的应用函数的导数刻画了函数相对于自变量的变化快慢，几何上就是用曲线的切线的斜率反映曲线上点的变化情况，本章将利用函数的一二阶导数进一步研究函数及曲线的性态，并介绍导数在一些实际问题中的应用.微分中值定理给出了函数及其导数之间的联系，是导数应用的理论基础，微分中值定理包括罗尔定理，拉格朗日中值定理与柯西中值定理，它们在微分学理论中占有重要地位.第一节中值定理一、罗尔（Rolle）定理

2、OyxCBA图4-1ab二、拉格朗日（Lagrange）中值定理拉格朗日中值定理动画演示xyOBCAab图4-2三、柯西（Cauchy）中值定理第二节洛必达法则三、其它类型的未定式由以上各例看出，洛必达法则是求未定式的值的一种简便有效的法则，应用这一法则时必须注意以下几点：第三节函数的单调性与极值一、函数单调性的判别法如图4-3所示，作曲线在各点处的切线，不难观察到：图4-3xOy(a)ab(b)OxyabOxy图4-4二、函数的极值及其求法Oxy图4-5abx1x2x3x4x5第四节函数的最大值与最小值一、函数在闭区间上的最大值与最小值二、应用问题举例

3、rhl图4-6yBA16t20txO82图4-7第五节曲线的凸凹性与拐点Oxy图4-8第六节函数图形的描绘一、曲线的水平渐近线和铅直渐近线xOy图4-9二、函数图形的描绘Oxy1-1图4-101-1Oyx图4--17作业：习题4-61，3（2，5）*第七节曲率工程技术与生产实践中常常要考虑曲线的弯曲程度.例如，公路、铁路的弯道，机床与土木建筑中的轴或梁在荷载作用下产生的弯曲变形.在设计时对它们的弯曲程度都要有一定的限制，因此要讨论如何定量地描述曲线的弯曲程度，这就引出了曲率的概念.为此，先介绍弧微分的概念.一、弧微分Oxy图4-12M0MM’xy二、曲率

4、（a）（b）图4-13M1M3M2M1M2N1N212例1求直线上各点的曲率.AROxy图4-14MM’OxyMNACT图4-15OxyCDB图4-16第八节导数在经济分析中的应用在经济与管理中常常要考虑产量、成本、利润、收益、需求、供给等问题,通常成本、收益、利润都是产量的函数.自然要考虑成本最低、利润最大等问题,这就是利用导数研究函数的最大值与最小值问题.本节主要介绍经济学中的边际分析与弹性分析问题.一、边际分析二、函数的弹性