资源描述：
《中值定理与导数应用(1)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第三章微分中值定理与导数应用第一节微分中值定理教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。教学重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理。教学难点：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用。教学内容：一、罗尔定理1.罗尔定理几何意义：对于在上每一点都有不垂直于轴的切线，且两端点的连线与轴平行的不间断的曲线来说，至少存在一点C，使得其切线平行于轴。CAB从图中可以看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点，由此得到启发证明罗尔定理。为应用方便，先介绍费马（Fermat）引理费马引理设函数
2、在点的某邻域内有定义,并且在处可导,如果对任意,有(或),那么.证明：不妨设时，（若，可以类似地证明）.于是对于,有,从而当时,;而当时,;根据函数在处可导及极限的保号性的得所以,证毕.定义导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点).罗尔定理如果函数满足：（1）在闭区间上连续,（2）在开区间内可导,（3）在区间端点处的函数值相等，即,那么在内至少在一点,使得函数在该点的导数等于零，即.证明：由于在上连续，因此必有最大值M和最小值，于是有两种可能的情形：（1），此时在上必然取相同的数值M，即由此得
3、因此，任取，有（2），由于，所以M和至少与一个不等于在区间端点处的函数值.不妨设(若,可类似证明),则必定在有一点使.因此任取有,从而由费马引理有.证毕例1验证罗尔定理对在区间上的正确性解显然在上连续，在上可导，且,又,取,有.说明：1若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立;2使得定理成立的可能多于一个，也可能只有一个.例如在上除不存在外，满足罗尔定理的一切条件，但在区间内找不到一点能使.例如除了点不连续外，在上满足罗尔定理的一切条件，但在区间上不存在使得的点例如除了外，在上满足罗尔定理
4、的一切条件，但在区间上不存在使得的点又例如满足定理的一切条件，而2．罗尔定理的应用罗尔定理1）可用于讨论方程只有一个根；2）可用于证明等式.例2证明方程有且仅有一个小于1的正实根.证明：设,则在上连续，且由介值定理存在使,即为方程的小于1的正实根.设另有使因为在之间满足罗尔定理的条件,所以至少存在一个（在之间）使得.但,矛盾,所以为方程的唯一实根.拉格朗日中值定理的证明就是罗尔定理证明等式的一个例子（见后面）.二、拉格朗日（Lagrange）中值定理1.拉格朗日中值定理在实际应用中，由于罗尔定理的条件
5、（3）有时不能满足，使得其应用受到一定限制。如果将条件（3）去掉，就是下面要介绍的拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函数满足（1）在闭区间上连续,（2）在开区间内可导,那么在内至少有一点,使得等式成立.几何意义:上述等式可变形为，等式右端为弦AB的斜率,于是在区间上不间断且其上每一点都有不垂直于轴切线的曲线上，至少存在一点C，使得过C点的切线平行于弦AB.当时，罗尔定理变为拉格朗日中值定理，即罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，下面用罗尔定理证明拉格朗日中值定理.分
6、析与证明：弦AB的方程为曲线减去弦AB，所得曲线AB两端点的函数值相等.作辅助函数于是满足罗尔定理的条件，则在内至少存在一点，使得.又,所以即在内至少有一点，使得.证毕说明:1.又称为拉格朗日中值公式（简称拉氏公式）,此公式对于也成立;2．拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系；当设在上连续,在内可导时,若,则有当时,也可写成试与微分比较:是函数增量的近似表达式,而是函数增量的精确表达式.所以拉格朗日中值公式又称为有限增量公式,拉格朗日中值定理又称有限增量定理
7、.推论若函数在区间I上导数恒为零，则在区间I上是一个常数.2.拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理1）可用于证明等式；2）可用于证明不等式.例3证明证明：设由于,所以又,即.故.例4证明当时,证明:设,则在上满足拉氏定理的条件于是又,于是而,所以,故从而,即三、柯西中值定理柯西中值定理如果函数及在闭区间上连续,在开区间内可导,且在内每一点处均不为零，那末在内至少有一点,使等式成立几何解释:设曲线弧C由参数方程()表示,其中为参数.如果曲线C上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线,那么在曲线C上必有一点
8、,使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB,曲线C上点处的切线的斜率为,弦AB的斜率为.于是,即在曲线弧AB上至少有一点,在该点处的切线平行于弦AB.证明:作辅助函数则满足罗尔定理的条件，于是在内至少存在一点，使得,即,所以.证毕特别地当时,由有即,故拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.例5设函数在上连续,在内可导,证明:至少存在一点，使证明与分析:结论可变形为设，则在上满足柯西中值定理的条件于是至少存在一点
