中值定理及导数的应用(II)

《中值定理及导数的应用(II)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、中值定理及导数的应用(一)【基本定理】一、罗尔定理若函数满足条件：1、在上连续；2、在内可导；3、则在区间内至少存在一点使得中值定理及应用罗尔定理的几何意义是：函数曲线上至少存在一点使得中值定理及应用过该点的切线平行轴它是拉格朗日定理的特殊情形，也是证明拉格朗日定理和柯西定理的依据。应明确定理的条件和结论中值定理及应用二、拉格朗日定理若函数满足条件：1、在上连续；2、在内可导；则在区间内至少存在一点使得拉格朗日定理的几何意义是：函数曲线上至少存在一点使得过该点的切线平行于中值定理及应用两点弦拉格朗日定理有以下两个重要推论：推论1如果函数

2、在区间内任一点的导数都等于零，则在区间内是一个常数。中值定理及应用推论2设函数和在内可导，且它们的导数处处相等，即则和相差一个常数，即说明：对于两个定理中的，只知道其存在性，除了简单的函数外，一般情况下中值定理及应用不易求得，也无此必要例1下列函数中，在区间满足罗尔中值定理条件的是解：应选C中值定理及应用例2已知函数拉格朗日公式，求出的值在区间上写出解：由于所以拉格朗日公式为三、柯西定理如果和在上连续，在内可导，而且在内则在区间内至少存在一点使得中值定理及应用即【导数应用】一、利用洛比塔法则求未定型极限使用洛比塔法则求极限应注意：1、可

3、连续使用；2、每次使用都必须检查是否为型或3、洛比塔法则失效时并不说明极限不存在，这时需要别的方法求极限。中值定理及应用中值定理及应用二、函数的单调性定理设函数在区间内可导1、若在内则函数在内是单调增加的。2、若在内则函数在内是单调减少的。步骤：1、确定函数的定义域2、求导数令在定义不存在的点。内求导数为零的点和导数域3、列表讨论用上面的点把定义域分成若干个区间，判断在每个区中值定理及应用间内的符号，确定在每个区间内的增减性。4、写出的单调区间。列表如下：行区间行“+”号或“-”号行中值定理及应用中值定理及应用例3函数在内是()A、单调

4、增加B、单调减少C、不单调D、不连续解：单调增加，应选A中值定理及应用例4函数单调减少区间是()A、D、B、C、解：的定义域是令得中值定理及应用列表故函数的单调区间是应选D中值定理及应用用函数的单调性证明不等式是一种一般步骤为：假设证明成立。1、设2、求导数并根据已知条件的正负。判断从而判断的增减性。常用的方法。中值定理及应用3、根据已知条件及的增减4、写出结论性得到例3证明当时，证明：令则中值定理及应用在内是单调增函数。而即中值定理及应用练习证明下列不等式中值定理及应用提示：1、令2、令中值定理及应用中值定理及应用三、函数的极值定义设

5、函数在点的某个邻域1、若对于该邻域内任意的总有则称为函数的极大值，并称点是的极大值点内有定义中值定理及应用2、若对于该邻域内任意的总有则称为函数的极小值，并称点是的极小值点函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为函数的极值点。中值定理及应用定理1：（极值的必要条件）若在点处取得极值且在点处可导，则说明：1、这个定理的两个条件缺一不可在处有极小值0，如：但在处不可导中值定理及应用在处可导，但在处有无极值2、使导数为零的点(即方程的实根)，的驻点。叫做函数定理2：（极值的第一充分条件）若在点处取得极值且在点的某个邻域内

6、连续且中值定理及应用可导(允许不存在)1、若当时，时，则函数在点处取得极大值2、若当时，时，则函数在点处取得极小值函数的极值3、若当和在点处不取得极值时，的符号相同，则函数定理3：（极值的第二充分条件）设函数在点处有二阶导数，且存在中值定理及应用1、若则函数在点处取得极大值2、若则函数在点处取得极小值3、若不能判断是否有极值中值定理及应用求函数极值步骤：1、确定函数的定义域，并求其导数令求出的所有驻点和不可导点则利用极值的第一充分条件判定。2、若在的(去心)邻域内可导中值定理及应用3、若函数的二阶导数容易求，即当在的两侧异号时，为极值，

7、为极值点；若在的两侧同号时，为极值，为极值点且存在则利用极值的第二充分条件来判定是否为极值点。若则为极小值，中值定理及应用为极大值，为极大值点；若极值第二充分条件不能为极小值点；若则判断是否为极值点，此时仍应改用极值的第一充分条件来判断例5求：函数的极大值和极小值中值定理及应用解法一：令解得：列表如下：极大值极小值中值定理及应用从表中可知：极大值为：极小值为：解法二：令解得：中值定理及应用为极大值为极小值例6函数在处的一阶导数二阶导数则是的极值大中值定理及应用例7以下结论正确的是A、函数的导数不存在的点，一定不是的极值点B、若为函数的驻

8、点，则必的极值点C、若函数在点处有极值，且存在，则必有D、若函数在点连续，则一定存在C中值定理及应用四、函数的最大值与最小值定义设函数在闭区间上有定义，设若对于任意恒有[或]，则称为函数在闭区间上的最大(小