中值定理与导数的应用(II)

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1、第三章微分中值定理与导数的应用第一节微分中值定理第二节洛必达法则第三节泰勒公式第四节函数的单调性与曲线的凹凸性第五节函数的极值与最大值最小值第七节曲率第六节函数图形的描绘第一节微分中值定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理费马(fermat)引理一、罗尔(Rolle)定理且存在证:设则证毕罗尔（Rolle）定理满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)使证:故在[a,b]上取得最大值M和最小值m.若M=m,则因此在(a,b)内至少存在一点若M>m,则M和m中至少有一个与端点值不等,不妨设则至少存在一点使注意:

2、1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.例如,则由费马引理得2)通常称导数为零的点为函数的驻点（或稳定点）.例1.证明方程有且仅有一个小于1的正实根.证:1)存在性.则在[0,1]连续,且由介值定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点但矛盾,故假设不真!设例2.设且在内可导,证明至少存在一点使分析:要证即容易验证证在上满足罗尔定理条件.证明设由罗尔定理定理得.至少存在一个x,使得即从而二、拉格朗日中值定理观察与思考设连续光滑的曲线y=f(x)在端点A、B处的纵坐标不相等问题：直线AB的斜率

3、k=?f(x)?提示：直线AB的斜率二、拉格朗日中值定理(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导则至少存在一点使证分析:条件与罗尔定理弦AB方程为相差f(a)=f(b)所得曲线在a，b两端点函数值相等。几何解释：在曲线弧AB上至少有一点C，在该点处的切线平行于弦二、拉格朗日中值定理(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导则至少存在一点则函数j(x)在区间[ab]上满足罗尔定理的条件于是至少存在一点x(ab)使j(x)0即证明由此得f(b)f(a)f(x)(ba)j¢(x)=

4、f¢(x)-abafbf--)()(.拉格朗日中值定理的有限增量形式:推论:若函数在区间I上满足则在I上必为常数.证:在I上任取两点日中值公式,得由的任意性知,在I上为常数.令则例3.证明等式证:设由推论可知(常数)令x=0,得又故所证等式在定义域上成立.自证:经验:欲证时只需证在I上例4.证明不等式证:设中值定理条件,即因为故因此应有三、柯西(Cauchy)中值定理及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内则至少存在一点使满足:几何意义证例5.设至少存在一点使证:结论可变形为设则在[0,1]上满足柯

5、西中值定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点,使即证明内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键:利用逆向思维设辅助函数费马引理思考与练习1.填空题1)函数在区间[1,2]上满足拉格朗日定理条件,则中值2)设有个根,它们分别在区间上.方程2.若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.作业：p-132习题3-14,7,8,10,11(1),12