高等数学竞赛辅导中值定理应用[1].pdf

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1、第三章微分中值定理与导数的应用§1内容提要一、介值定理1、定理1（零点定理）设函数f()x在闭区间[,ab]上连续，且fafb()()0<，那么在开区间(,)ab内至少有一点ξ使f()0ξ=2、定理2（介值定理）设函数f()x在闭区间[,ab]上连续，且f()aA=及f()bBAB=,≠那么对于A与B之，间的任一个常数C，开区间(,)ab内至少有一点ξ使f()ξ=Ca,(<<ξb)，二、微分中值定理1、定理3（费马（fermat）引理）设函数f()x在点x的某邻域Ux()(=x−+δ,xδ)内有定

2、义，并且在x处可导，如果00000对任意的x∈Ux()，有f()xfx≤()（f()xfx≥()），那么fx′()0=。0000注：①费马引理函数的极值点若可导，则其导数为0。②一阶导数等于零的点称为函数的驻点。2、定理4（罗尔（Rolle定理））如果函数f()x满足：（1）在闭区间[,ab]上连续；（2）在开区间(,)ab内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即f()af=()b，那么在(,)ab内至少有一点ξ()a<<ξb，使得f′()0ξ=。3、定理5（拉格朗日（Lagrange）定理）如

3、果函数f()x满足：（1）在闭区间[,ab]上连续；（2）在开区间(,)ab内可导，那么在(,)ab内至少有一点ξ()a<<ξb，使得f()bfafba−()=−′()(ξ)。4、定理6如果函数f()x在区间I上的导数恒为零，那么函数f()x在区间I上是一个常数。5、定理7（柯西（Cauchy）定理）如果函数f()x及Fx()满足：（1）在闭区间[,ab]上连续；（2）在开区间(,ab)内可导；（3）对任一xabFx∈≠(,),()0,那么在(,)ab内至少有一点ξ()ab<ξ<，fbfa()−(

4、)f′()ξ使得=。FbFa()−()F′()ξ6、定理8（泰勒（Taylor）定理）如果函数f()x在含有x的某个开区间(,ab)内具有直到n+1阶的导数，则对x∈(,),ab有0()nfx′′()002fx()nf()()()(xfxfxxx=+′−)+(xx−+)L+(xxRx−+)()，00000n2!n!(1n+)f()ξn+1其中Rx()=−(xx)，这里ξ是x与x之间的某个值，此公式也称为带有拉格n00(1n+)!朗日型余项的阶泰勒公式。nn（1）当Rxoxx()=−⎡()⎤时，n⎣

5、0⎦()nfx′′()002fx()nnfxfxfxxx()(=+)(′)()−+()xx−+L+()()xx−+−oxx⎡⎤00000⎣⎦02!n!称为带有皮亚诺（Peano）余项的阶泰勒公式。n（2）在泰勒公式中，如果取x=0，则ξ在x与0之间，此时可令ξ=θθx(0<<1)下0，面两公式分别称为带有拉格朗日余项的n阶麦克劳林公式和带有皮亚诺余项的n阶麦克劳()nn(1)+ff′′(0)21(0)nnf(θx)+林公式：f()xffx=++(0)′(0)x+L+x+x2!nn!(+1)!()n

6、ff′′(0)2(0)nnf()xffx=++(0)′(0)x+L+xo+().x2!n!§2典型题型与例题分析题型一证明存在ξ使f()0ξ=，解题提示：用介值定理。唯一性由fx′()0>（或fx′()0<）确定。例1、设f()x在[,a+∞)上连续，当x>a时，fxK′()>>0（K为常数）。试证明：若⎛⎞f()afa()0<，则方程fx()0=在⎜aa,−⎟上有且仅有一个实根。（提示：由拉格朗日中⎝⎠K值定理在(a,+∞)中先找到一点ξ，使f()0ξ>，然后再用介值定理，注意唯一性）例2、设f

7、()x在[,ab]上连续，且fx()0>，证明在(,ab)内存在唯一的ξ，使得直线x=ξ将曲线yfx=()和直线x==axb,以及y=0所围成的平面图形分成面积相等的两部分。ππ例3、设函数f()x在[0,]π上连续，且∫∫fxdx()=0,fx()cosxdx=0。试证：在00(0,)π内至少存在两个不同的点ξ,ξ，使ff()()0.ξ=ξ=1212分析：证明介值问题，一般两种情形：（1）要证的结论与某函数在一点的函数值f()ξ有关，但与其导数值无关，可考虑用连续函数的介值定理（如例1，例2）；

8、（2）要证的结论与某函数在某一点的导数值f′()ξ或更高阶导数值有关，则应考虑微分中值定理（包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒公式）（题型二将详述）。本题要证的结论与导数无关，但用连续函数的介值定理又解决不了，是隐含介值问题，x′x实际上应用微分中值定理解决，根据(∫af()tdt)=fx()，利用变限积分的函数∫af()tdt作辅助函数。本题提示：本题直接用连续函数的介值定理比较困难，可考虑作辅助函数：xFx()=∫ftdt()。显然有FF(0)==()π0，但要证本题结论，还