高等数学 微分中值定理与导数的应用 3-1(微分中值定理).ppt

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1、第一节微分中值定理罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理。一、罗尔定理定理1：（罗尔中值定理）如果函数满足以下条件：连续；上可导；则至少存在一点，有证明：因为在闭区间值与最小值定理，函数1）在闭区间2）在开区间3）上连续，利用最大在闭区间上存在和最小值。，在是常数函数，的任一点处的导数都为零。最大值1）如果2）如果，因为至少有一个不。即存在使得。又因为在开区间上可导，存在，即存在。我们考虑这点的左导数和右导数，和当充分小时，所以此时有当时，有，等于端点函数值。无妨设所以当时，有利用极限的保号性质因此注：定理中的三个条件缺一不可。在考虑函

2、数2）1）注：定理中的三个条件缺一不可。在注：定理中的三个条件缺一不可。在二、拉格朗日中值定理定理2：（拉格朗日中值定理）如果函数满足以下条件连续；则至少存在一点，有证明：考虑函数上可导；1）在闭区间2）在开区间利用罗尔中值定理，至少存在一点，有即显然在闭区间连续，在开区间上可导。注：设，当时，在区间上利用拉格朗日中值定理当时，在区间上利用拉格朗日中值定理；在与之间存在一点使得定理3：如果函数在区间导数恒为零，那么在区间上恒为零。（无妨设），函数在区间上可导利用拉格朗日中值定理，存在有，即例1：证明：证明：对任给的。例2：证明：例3：

3、，证明：证明：在区间上考虑函数，利用拉格朗中至少存在一点使得日中值定理，在区间即又因为所以即例4：证明：若函数满足：上连续；上可导；，且则有讲解拉格朗日中值定理的几何意义1）在闭区间2）在开区间3）三、柯西中值定理定理4：（柯西中值定理）如果函数满足以下条件：上连续；上可导；在内不为零；，有证明：1）先证明。利用拉格朗日中值定理有1）在闭区间2）在开区间3）则至少存在一点存在2）考虑函数显然在闭区间连续，在开区间上可导。利用罗尔中值定理，至少存在一点，有即，其中在例5：设在上连续、可导，且时，为常数证明：若则方程内至少有一个实根。