微分中值定理 导数应用

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1、第四章微分中值定理导数应用本章内容引入：中值定理是微分学中的最重要的定理，这是连续可导函数所具有的一些重要性质，它在用导数研究函数以及实际应用中是重要的理论基础。§4。1微分中值定理［教学目标］了解罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理，理解这些定理之间的关系，会利用这些定理证明一些简单的证明题（如证明不等式）。［重点和难点］中值定理和中值定理之间的关系［授课内容］罗尔定理：若函数满足在上连续，在内可导，则有使。从几何意义理解罗尔中值定理的意义。注意：（1）定理中的条件是充分的，但非必要的。（2）导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点）举例：求罗尔定理结论中的。P134

2、~1拉格朗日中值定理：若函数在上连续，在内可导，则有使。拉格朗日定理是罗尔定理的推广。从拉格朗日中值定理的几何意义，理解拉格朗日中值定理的意义。推论1：若函数在区间内可导，且，则函数在区间内恒等于一个常数。推论2：若函数和在区间内的导数处处相等，即，则函数和在区间内仅相差一个常数。举例：求拉格朗日中值定理结论中的。P134~2拉格朗日中值定理的应用：证明不等式举例：P134~例1小结：利用格朗日中值定理证明不等式，首先要设一个恰当的函数，然后将恰当地放大和缩小，从而得到所要证明的不等式。柯西中值定理：若函数在上连续，在内可导，且则有使。柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推

3、广。举例：例5几个中值定理之间的关系；［小结］中值定理刻划函数在区间上的增量与函数在区间内的某一点的导数的关系，要了解三个中值定理意义，知道这些定理之间的关系。［练习］P134~4；11、（1）［作业］P134~10§4.2洛必达法则［教学目标］熟练掌握洛必达法则和各种未定式的定值方法［重点和难点］洛必达法则和各种未定式的定值方法［授课内容］两种基本的未定式：洛必达法则：若函数和满足：只证明型未定式的洛必达法则，型未定式不作要求。注意洛必达法则的适用条件。举例：例1~例3注意：（1）洛必达法则中的条件（1）改为则为型未定式，则法则仍成立。（2）法则中的，改为，，，，只要

4、将法则中的条件（2）作相应的修改，法则仍适用。（3）若还是型或型未定式，可对再用一次洛必达法则，依次类推。举例：例4~例6注意只有型或型未定式才能用洛必达法则。对于型常将其化为分式而变成或，对于，，等又经常通过将其变成指数函数或取对数化为型；至于型，一般通过将其通分或有理化后根据情况处理。举例：例7~例9［小结］利用洛必达法则可以得到，及，，，，等各种未定式的定值方法，在计算时要注意洛必达法则的适用条件。并且洛必达法则时能同时与其他求极限的方法结合使用，将使计算简捷。举例：例10注意：洛必达法则失效的情形。举例：P139~2；3［练习］P139~1、（1）~（4）［作业

5、］P139~1、（9）；（13）；（14）§3。3函数的单调性与极值［教学目标］熟练掌握函数单调性的判别方法；熟练掌握求函数极值与最值的方法。了解函数极值与最值的关系与区别。［重点和难点］函数单调性的判别方法和求极值的方法［授课内容］一、函数单调性的判别法定理1（判别单调性的充分条件）：在函数可导的区间内：（1）若，则函数单调增加；（2）若，则函数单调减少；讨论函数单调性的一般程序：（1）确定函数的定义域（2）确定函数增减区间的可能分界点（驻点或导数不存在的点）（3）判别函数的增减区间举例：例1~例5二、用函数的增减性与极值证明不等式要证明在区间上有，只要利用函数单调性

6、与极值判别定理证明即可。举例：例6三、函数的极值1、极值的定义（P154）2、极值的求法定理1（极值存在的必要条件）：若函数在点处可导，且取得极值，则注意：（1）驻点不一定是极值点。（2）函数不可导点也可能是极值点。定理2（第一充分条件）：设函数在内连续且可导（可以不存在）；求函数极值的一般步骤：（P156）（1）确定函数的连续区间；（2）求出函数的可能极值点（驻点和不可导点）；（3）判别可能取极值的点是否为极值点；（4）若是极值点，求出函数的极值。举例：例1定理3（第二充分条件）：设函数在点二阶可导且,,则是函数的极值点：举例：例2注意：定理2和定理3都是判别极值点的

7、充分条件，定理2对驻点和导数不存在的点均适用，定理3用起来比较方便，但对于下述两种情况不适用：（1）导数不存在的点；（2）当，时点可能是极值点，也可能不是极值点。四、最大值最小值问题假设函数在上连续，则求最大值和最小值的一般程序：首先求出函数在开区间内所有可能的极值点（即驻点和导数不存在的点）的函数值，再求出区间端点的函数值和，比较这些值，其中最大者就是在上的最大值，最小者就是在上的最小值。举例：例3~例7［小结］作为导数与微分的重要应用是利用导数研究函数的单调性、求函数的极值，这在解决实际问题中是非常重要的。［练习］P152~3、（4）